Топологические пространства

[Teletranslator]

Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, стр. 83 и далее, Параграф 5: Топологические пространства.


В этом параграфе на странице 85 есть сиё:

Цитата:

Легко доказать (проведите это доказательство), что замкнутые множества (определённые выше, как дополнения открытых) и только они удовлетворяют условию $[M]=M$.

Мои мысли.

1) Не утверждается, что топология максимальна. То есть, я не могу рассчитывать на то, например, что в любом открытом множестве с бесконечным числом точек найдётся ещё одно открытое. Иначе говоря: не утверждается, что в G есть окрестности точек множеств, принадлежащих $G$. И: не утверждается, что нет замкнутуго множества $Z: X \backslash Z \in G$.

2) Мне непонятен смысл выражения "Множества $T\G$, дополнительные к открытым". $T$ - это, в моём понимании, все подмножества $X$ (носителя). $G$ - это, очевидно, все открытые множества. За этим утверждением следует аксиома, в которой утверждается, что прежде объявленные открытыми множества являются замкнутыми. То есть, утверждение заведомо неверно.

Также: окромя открытых и замкнутых множеств существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, а упомянутое выражение называет их замкнутыми.

3) Мои соображения о доказательстве таковы: точки прикосноовения, не являющиеся предельными - это элементы множества, и множество не может не содержать их. Значит, имеет смысл говорить только о предельных точках. Но из-за сомнений я не могу развить эту мысль.



Кому-то, быть может, написанное в учебнике очевидно, а доказательство - лёгкое, но я считаю, что изложение неполное. Как нужно изменить текст, чтобы доказательство проводилось без запинок и чтобы противоречия исчезли?

[NSKuber]

Teletranslator в сообщении #1043881 писал(а):

Как нужно изменить текст, чтобы доказательство проводилось без запинок и чтобы противоречия исчезли?

Нужно читать его иначе. Везде в приложенном тексте книги $G$ - некоторое (одно) подмножество $X$. Поэтому ваша запись $X \backslash Z \in G$ вообще не имеет смысла. Там может быть включение или равенство, но не принадлежность.
В том месте книги, где даётся определение замкнутых множеств, под $T$ понимается и пара $(X, \tau)$, и, для простоты записи, само множество $X$, если требуется проводить с $X$ операции множеств.
То есть запись "Множества $T \backslash G$, дополнительные к открытым, называются замкнутыми" понимается как "Для любого открытого множества $G$ его дополнение $T \backslash G(:=X \backslash G)$ называется замкнутым множеством".
Попробуйте теперь полностью понять, что написано в учебнике, и только потом приступайте к упражнению. И не спешите усложнять.
Вам понятие топологии только на предыдущей странице ввели, а вы уже впереди паровоза, что-то про "максимальную топологию" и "бесконечное число точек" придумываете. Не нужно это.

[мат-ламер]

Teletranslator в сообщении #1043881 писал(а):

Мне непонятен смысл выражения "Множества $T \setminus G$, дополнительные к открытым". $T$ - это, в моём понимании, все подмножества $X$ (носителя)

(чуток поправил символ дополнения).
В понимании Колмогорова - Фомина $T$ - это топологическое пространство, т.е. пара $(X,\tau)$ - см. предыдущий абзац. Поэтому запись $T \setminus G$ надо рассматривать неформально. Может быть просто как единый символ. С формальной точки зрения тут непонятно что написано (если рассматривать запись как разность двух множеств). Но это обозначение дальше не встречается. На это можно не обращать внимание.

-- Пн авг 10, 2015 15:53:53 --

Teletranslator в сообщении #1043881 писал(а):

Не утверждается, что топология максимальна.

Ну и что? Нигде не используется.

-- Пн авг 10, 2015 15:58:53 --

Teletranslator в сообщении #1043881 писал(а):

Мне непонятен смысл выражения "Множества $T\setminus G$, дополнительные к открытым".

А так будет понятно "Подмножества $X$, дополнительные к открытым"?

-- Пн авг 10, 2015 16:09:02 --

Teletranslator в сообщении #1043881 писал(а):

3) Мои соображения о доказательстве таковы: точки прикосноовения, не являющиеся предельными - это элементы множества, и множество не может не содержать их. Значит, имеет смысл говорить только о предельных точках. Но из-за сомнений я не могу развить эту мысль.

Доказательство разбивается на две части - туда и обратно. В одну сторону совсем легко. А в другую сторону надо начинать с того, что на подмножествах $X$ определена некоторая абстрактная операция - квадратная скобка. Рассмотрим множества, инвариантные относительно этой операции. Затем рассмотрим дополнения к этим множествам. Оказывается они будут удовлетворять свойствам ... . ( В принципе опять ничего сложного).

[Teletranslator]

Перечитал, понял немного больше.

мат-ламер в сообщении #1043932 писал(а):

А так будет понятно "Подмножества $X$, дополнительные к открытым"?

Да.

мат-ламер в сообщении #1043932 писал(а):

В одну сторону совсем легко.

Не могли бы Вы хотя бы сделать доказательство "в одну сторону"? То есть: замыкание замкнутого ножества есть то же множество.

[Hasek]

Teletranslator в сообщении #1046371 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1043932 писал(а):

В одну сторону совсем легко.

Не могли бы Вы хотя бы сделать доказательство "в одну сторону"? То есть: замыкание замкнутого ножества есть то же множество.

Каким определением замыкания Вы хотите пользоваться? Если замыкание -- это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное, то это очевидно (ну потому что данное -- это наименьшее замкнутое множество, содержащее себя).

[Teletranslator]

Hasek, тем, которое в книге - совокупность точек прикосновения.

[Hasek]

Teletranslator в сообщении #1046384 писал(а):

Hasek, тем, которое в книге - совокупность точек прикосновения.

Чем могут быть точки прикосновения некоторого множества? Или его внутренними точками, или же предельными. Но замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

[Teletranslator]

Hasek, об этом я пишу в пункте 3) ОП-поста. Постройте доказательство на аксиомах топологии.

[Brukvalub]

Точки прикосновения множества- это ровно те точки, любая окрестность которых пересекается с этим множеством.
Удалим из всего топ. пр-ва замыкание множества - останутся те и только те точки, которые не лежали в множестве вместе с некоторой окрестностью, объединение таких точек будет равно объединению этих окрестностей и составит множество,оставшееся после удаления замыкания, то есть это будет объединение открытых множеств.

[NSKuber]

Teletranslator в сообщении #1046371 писал(а):

замыкание замкнутого множества есть то же множество.

Пусть у нас есть замкнутое множество $M$. Надо доказать, что $M=[M]$. Очевидно, что все точки $M$ являются точками прикосновения, поэтому $M\subseteq [M]$. Пусть $x\notin M$. Значит $x$ принадлежит дополнению $M$, которое, по определению замкнутого множества, является открытым, а значит, окрестностью $x$, не содержащей точек из $M$. То есть точка $x$ не является точкой прикосновения $M$.