Помогите разобраться с выводом формул по колебаниям

[Ms-dos4]

Munin,Kephe
Я прекрасно понял, что имелось ввиду, но решил на всякий случай сказать "классическим вспособом" для Atom001 (и оказалось не зря).
Atom001
Функция используется в матпакетах, и это очень помогает когда дело доходит до каких то вычислений.

Ну смотря какие задачки. Вы можете взять например стандартный задачник Иродова, там и по колебаниям задачи есть.

[Munin]

В математике такой функции не используется, но это вопрос скорее традиции и удобства. В математике удобней рассматривать функции одной переменной, и $\arctg$ вполне справляется с большей частью нагрузки. Если что, её подстраховывают $\operatorname{Arctg},\arcsin,\arccos,\operatorname{Arcsin},{\operatorname{Arccos}}.$

Но никто не мешает самому определить функцию (и даже нотацию для неё), и потом ею пользоваться. Как, например, я здесь уже и делал:

Munin в сообщении #972324 писал(а):

Munin в сообщении #972237 писал(а):

а обозначение $\arctg_2\dfrac{\cdots}{\cdots}$ неформально подразумевает функцию, правильно выбирающую четверть по знакам координат.



Если хотите более формально, то назовём функцией $\arctg_2\dfrac{\cdots}{\cdots}$


$$\arctg_2(x,y)\equiv\arctg_2\dfrac{y}{x}=\begin{cases}\arctg\dfrac{y}{x}+\pi&x<0,\quad y\geqslant 0\\+\pi/2&x=0,\quad y\geqslant 0\\\arctg\dfrac{y}{x}&x>0\\-\pi/2&x=0,\quad y<0\\\arctg\dfrac{y}{x}-\pi&x<0,\quad y<0\\\end{cases}$$

Функция такого вида часто встречается в компьютерных вычислениях, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Atan2 . Ещё вариант определения: $\arctg_2\dfrac{y}{x}=\operatorname{arg}(x+iy).$

[Atom001]

Ms-dos4 в сообщении #1044436 писал(а):

Функция используется в матпакетах, и это очень помогает когда дело доходит до каких то вычислений.

Ясно. Ну я так и думал, что в теоретической математике данная функция не используется.

Ms-dos4 в сообщении #1044436 писал(а):

Ну смотря какие задачки. Вы можете взять например стандартный задачник Иродова, там и по колебаниям задачи есть.

Хорошо, посмотрю.

-- 11.08.2015, 19:44 --

Munin в сообщении #1044437 писал(а):

В математике такой функции не используется, но это вопрос скорее традиции и удобства. В математике удобней рассматривать функции одной переменной, и $\arctg$ вполне справляется с большей частью нагрузки. Если что, её подстраховывают $\operatorname{Arctg},\arcsin,\arccos,\operatorname{Arcsin},{\operatorname{Arccos}}.$

Ясно.

Munin в сообщении #1044437 писал(а):

Но никто не мешает самому определить функцию (и даже нотацию для неё), и потом ею пользоваться. Как, например, я здесь уже и делал:

Я тоже раньше пытался свои функции вводить. Но либо оказывалось, что таковые уже давно во всю используются, либо толку от таких функций совсем не много. Помню, когда-то я вместо координатного круга ввёл координатную сферу и пытался к синусу и косинусу ввести ещё и третью функцию (как бы "для третьего измерения"), но, как оказалось, применения такая функция не нашла :)

[Munin]

Atom001 в сообщении #1044438 писал(а):

Но либо оказывалось, что таковые уже давно во всю используются, либо толку от таких функций совсем не много.

Да, очень часто бывает и то, и другое, но это не повод такие функции не вводить. Просто надо заранее осознавать, что применять эти функции тоже надо в небольшом объёме: например, в одной письменной работе (статье, курсовой), или в одной форумной теме. Все знаменитые функции начинали именно так же, просто потом другие авторы подхватывали понравившиеся удобные вещи.

(Оффтоп)

Atom001 в сообщении #1044438 писал(а):

Помню, когда-то я вместо координатного круга ввёл координатную сферу и пытался к синусу и косинусу ввести ещё и третью функцию (как бы "для третьего измерения"), но, как оказалось, применения такая функция не нашла :)

Применение такая функция может найти и находит, причём мне в голову приходят аж два варианта:
- сферические координаты, и
- направляющие косинусы.

[Atom001]

Munin в сообщении #1044440 писал(а):

Просто надо заранее осознавать, что применять эти функции тоже надо в небольшом объёме: например, в одной письменной работе (статье, курсовой), или в одной форумной теме. Все знаменитые функции начинали именно так же, просто потом другие авторы подхватывали понравившиеся удобные вещи.

Пожалуй, Вы правы.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1044440 писал(а):

Применение такая функция может найти и находит, причём мне в голову приходят аж два варианта:
- сферические координаты, и
- направляющие косинусы.

Но её всегда можно выразить через уже имеющиеся синус и косинус. Да, получится несколько сложнее, но зато более наглядно, чем если в формулах будет фигурировать какая-то третья функция. Возможно, просто я ещё не встречался с такими задачами, где ввести новую функцию было бы удобнее, чем пользоваться общеизвестными. Сейчас мне удобнее записать более "пышную" формулу, которая будет содержать много уже известных, чем записать такую, где всего одна-две функции, но которые используются лишь в узкой теме.

[Munin]

(Оффтоп)

Atom001 в сообщении #1044443 писал(а):

Но её всегда можно выразить через уже имеющиеся синус и косинус. Да, получится несколько сложнее, но зато более наглядно, чем если в формулах будет фигурировать какая-то третья функция.

Всегда можно, но не всегда более наглядно.

Atom001 в сообщении #1044443 писал(а):

Сейчас мне удобнее записать более "пышную" формулу, которая будет содержать много уже известных, чем записать такую, где всего одна-две функции, но которые используются лишь в узкой теме.

Часто в формулах ценится не то, насколько они подробны, а то, насколько они точно выражают какую-то идею. Для этого, наоборот, полезны компактные и упрощённые обозначения, с которыми удобно работать, и суть которых удобно себе представлять - а при необходимости, читатель может расписать банальные подробности, потому что он знает, как.

В программировании есть сходный принцип: не пытаться полностью записать всю программу в одном блоке, а поделить его на функции и подфункции, так чтобы программа состояла из крупных высокоуровневых частей, каждая из которых понятна сама по себе, и тогда яснее видно, как они вместе собраны и взаимодействуют.

[Atom001]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1044470 писал(а):

Всегда можно, но не всегда более наглядно.

Да, согласен.

Munin в сообщении #1044470 писал(а):

В программировании есть сходный принцип: не пытаться полностью записать всю программу в одном блоке, а поделить его на функции и подфункции, так чтобы программа состояла из крупных высокоуровневых частей, каждая из которых понятна сама по себе, и тогда яснее видно, как они вместе собраны и взаимодействуют.

Ну это мне уже знакомо. Это Вы правильно говорите. Я даже, помню, писал сначала какую-то программу одним блоком, одним куском. А потом решил оптимизировать и создал несколько функций, которые потом использовал в теле программы. Второй вариант действительно был и намного нагляднее, и лучше поддавался отладке.

[Atom001]

Теперь такая задача. Хочу рассмотреть наиболее реальный случай.
Груз массой $m$ подвешен на пружине с жёсткостью $k$. Система находится в какой-то среде (пусть это будет воздух для начала). На груз действуют три силы: тяжести, упругости и сопротивления среды. В некоторый момент времени груз летит вниз (пружина растягивается). Ось $x$ направлю вверх. Тогда для данной ситуации справедливо такое выражение: $ma_x+k_1v_x+kx+mg=0$, где $k_1$ - коэффициент сопротивления воздуха, $k$ - коэффициент упругости. Разделим на массу и запишем ДУ: $x''+Ax'+Bx+C=0$, где $A=\frac{k_1}{m}$, $B=\frac{k}{m}$, $C=g$.
Теперь решаем это неоднородное ДУ:
$x''+Ax'+Bx+C=0$

$\lambda^2+A\lambda+B=0$

$\lambda=\frac{-A\pm\sqrt{A^2-4B}}{2}$

Но теперь, чтобы двигаться дальше, необходимо понять, к какому числовому множеству принадлежат оба $\lambda$.
Собственно, вопрос заключается в следующем. Верно ли, что $\frac{{k_1}^2}{m^2}\geqslant \frac{4k}{m}$ (по крайней мере для воздуха)?

[Ms-dos4]

Atom001
Наоборот. Коэффициент затухания мал, и тогда выражение под корнем отрицательное. Если же будет как вы написали - колебаний не будет вообще, а просто экспоненциальное затухание (к положению равновесия). И кстати говоря, для удобства, коэффициенты обычно записывают так $\[\ddot x + 2\gamma \dot x + \omega _0^2x = 0\]$, где $\[\gamma = \frac{{{k_1}}}{{2m}}\]$ и $\[{\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} \]$. Это позволяет не таскать за собой кучу непонятных букв, а двойка сделает красивым дискриминант, что позволит ввести $\[\omega = \sqrt {\omega _0^2 - {\gamma ^2}} \]$

[Atom001]

Ms-dos4 в сообщении #1044807 писал(а):

Наоборот. Коэффициент затухания мал, и тогда выражение под корнем отрицательное.

Ага... Тогда всё-таки корни будут комплексные. Ясно. Спасибо!

Ms-dos4 в сообщении #1044807 писал(а):

И кстати говоря, для удобства, коэффициенты обычно записывают так $\[\ddot x + 2\gamma \dot x + \omega _0^2x = 0\]$

Спасибо! Буду иметь ввиду.

[Atom001]

Итак.
$\ddot x +2\gamma \dot x + \omega_0^2x+g=0$

1) Общее неполное решение.
$\ddot x +2\gamma \dot x + \omega_0^2x=0$

$\lambda^2+2\gamma \lambda+ \omega_0^2=0$

$\lambda_{1,2}=\frac{-2\gamma\pm\sqrt{4\gamma^2-\omega_0^2}}{2}=-\gamma\pm\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}i$

$$\hat x=e^{-\gamma t}\left (C_1\cos\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}t+C_2\sin\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}t\right )$$

2) Частное решение.
$\tilde x=A \Rightarrow \dot{\tilde {x}}=0 \Rightarrow \ddot{\tilde {x}}=0$

$0+0+\omega_0^2A=-g\Rightarrow A=-\frac{g}{\omega_0^2}\Rightarrow $

$$\tilde x=-\frac{g}{\omega_0^2}$$

3)Общее полное решение.

$$x(t)=e^{-\gamma t}\left (C_1\cos\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}t+C_2\sin\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}t\right )-\frac{g}{\omega_0^2}$$

4) Задача Коши для поиска констант.
$x(0)=x_0$
$\dot x(0)=v_0$

$$C_1=x_0+\frac{g}{\omega_0^2}\qquad\qquad C_2=\frac{v_0+\gamma\left(x_0+\frac{g}{\omega_0^2}\right)}{\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}}$$

5) Окончательно.

$$x(t)=e^{-\gamma t}\left (\left(x_0+\frac{g}{\omega_0^2}\right)\cos\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}t+\frac{v_0+\gamma\left(x_0+\frac{g}{\omega_0^2}\right)}{\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}}\sin\sqrt{\left|\gamma^2-\frac{\omega_0^2}{4}\right|}t\right )-\frac{g}{\omega_0^2}$$

Какое-то уж очень сложное уравнение затухающих колебаний получилось.

[Ms-dos4]

Atom001
Начнём с того, что у вас квадратное уравнение решено неверно...
P.S.И когда вы это исправите - не пишите вы модули, у вас по условию будет $\[\omega _0^2 > {\gamma ^2}\]$ и толку нет от него.

[Atom001]

Ms-dos4 в сообщении #1044821 писал(а):

Начнём с того, что у вас квадратное уравнение решено неверно...

$\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega_0^2=0$

$D=(2\gamma)^2-4\cdot 1\cdot \omega_0^2=4\gamma^2-4\omega_0^2$

$\lambda=\frac{-2\gamma\pm\sqrt{4\gamma^2-4\omega_0^2}}{2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$

Ms-dos4 в сообщении #1044821 писал(а):

P.S.И когда вы это исправите - не пишите вы модули, у вас по условию будет $\[\omega _0^2 > {\gamma ^2}\]$ и толку нет от него.

Не понял. Тогда под корнем получится отрицательное число. А по формуле (решения ДУ) под знаками синуса и косинуса должны стоять только $\beta$, а не $\beta i$

[Ms-dos4]

Atom001
1)Вот теперь лучше.
2)Когда у вас $\[\omega _0^2 > {\gamma ^2}\]$ то $\[\sqrt {{\gamma ^2} - \omega _0^2} = i\sqrt {\omega _0^2 - {\gamma ^2}} \]$

[Atom001]

Ms-dos4 в сообщении #1044824 писал(а):

2)Когда у вас $\[\omega _0^2 > {\gamma ^2}\]$ то $\[\sqrt {{\gamma ^2} - \omega _0^2} = i\sqrt {\omega _0^2 - {\gamma ^2}} \]$

Верно!

Тогда,

$$\hat x=e^{-\gamma x}\left(C_1\cos t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+C_2\sin t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\right)$$

Ну частное решение, полагаю, найдено верно.

$$\tilde x =-\frac{g}{\omega_0^2}$$

Общее решение выглядит так

$$x=e^{-\gamma x}\left(C_1\cos t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+C_2\sin t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\right)-\frac{g}{\omega_0^2}$$

Теперь задача Коши

$$x_0=x(0)=e^0\left(C_1\cos 0+C_2\sin 0\right)-\frac{g}{\omega_0^2}\Rightarrow C_1=x_0+\frac{g}{\omega_0^2}$$

$$\dot x = -\gamma e^{-\gamma t}\left(C_1\cos t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+C_2\sin t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\right)+$$

$$+e^{-\gamma t}\left(-C_1\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\sin t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+C_2\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\cos t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\right)$$

$$v_0=\dot x(0)=-\gamma e^{0}\left(C_1\cos 0+C_2\sin 0\right)+e^{0}\left(-C_1\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\sin 0+C_2\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\cos 0\right)$$

$$C_2=\frac{v_0+\gamma(x_0+\frac{g}{\omega_0^2})}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}$$

И, наконец, окончательное уравнение

$$x(t)=e^{-\gamma x}\left(\left(x_0+\frac{g}{\omega_0^2}\right)\cos t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+\frac{v_0+\gamma(x_0+\frac{g}{\omega_0^2})}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\sin t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\right)-\frac{g}{\omega_0^2}$$