2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 период малых колебаний
Сообщение04.07.2015, 15:47 


10/02/11
6786
Материальная точка массы $m$ соединена пружиной жесткости $k$ с началом декартовой системы координат так, что $$L=\frac{m}{2}(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)-\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2).$$
Найти частоты малых колебаний системы в окрстности начала, если известно, что движение точки стеснено идеальной связью $\dot x+a\dot y+bx\dot z=0.$ Константы $a,b$ не равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение10.08.2015, 22:33 
Аватара пользователя


13/08/13
4036
Oleg Zubelevich
Связи не голономны.

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение10.08.2015, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4084
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1044107 писал(а):
Связи не голономны.
Да, а что?

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение10.08.2015, 22:44 
Аватара пользователя


13/08/13
4036
amon
А то, что лагранжиан нельзя записать

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение10.08.2015, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4084
ФТИ им. Иоффе СПб
Да ну! Тут Oleg Zubelevich несколько тем этому посвятил, и на тебе, - оказывается таки нельзя ;) Есть такие множители Лагранжа - слыхали?

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение10.08.2015, 22:49 
Аватара пользователя


13/08/13
4036
Хотя можно записать уравнения Лагранжа второго рода через обобщенную силу.
Те в каждой точке пространства можно ввести еще дополнительную силу вкупе с силой растяжения пружины, которая будет давать ускорения по различным осям в сумме нулевое, те сумма проекций скоростей будет постоянная.

-- 10.08.2015, 22:50 --

amon
Слыхал.

(Оффтоп)

Я как раз их использовал для минимизации функционала электронной плотности :mrgreen:


-- 10.08.2015, 22:56 --

Хм, получается Лагранж работает и для неголономных связей?

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение11.08.2015, 10:10 


10/02/11
6786
в неголономной механике нет вариационного принципа, а лагранжев формализм есть, теорема Нетер даже есть

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение11.08.2015, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
$m\ddot x + kx=\lambda,$
$m\ddot y + ky=\lambda a,$
$m\ddot z + kz=\lambda bx.$
Дифференцируем связь, подставляем: $\lambda=\frac{k(x+ay+bxz)-bm\dot x\dot z}{1+a^2+b^2x^2}$
Линеаризуем, получаем ($p=k/m$)
$\ddot x + px=\frac{p}{1+a^2}(x+ay),$
$\ddot y + py=\frac{ap}{1+a^2}(x+ay),$
$\ddot z + pz=0$
Все частоты в (ко)синусах равны $\sqrt p$. ЧЯДНТ?

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение11.08.2015, 18:12 


10/02/11
6786
Да, система с двумя степенями свободы, обе частоты равны $\sqrt{k/m}$. Смысл задачи в следующем. Можно линеаризовать саму связь: $\dot x+a\dot y=0\Longrightarrow x+ay=0.$ А это уже можно просто в лагранжиан подставить. Получилась голономная лагранжева система, дальше частоты определяются стандартно. В бесконечно малом неголономная связь превращается вв голономную.

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение11.08.2015, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
Oleg Zubelevich в сообщении #1044527 писал(а):
В бесконечно малом неголономная связь превращается вв голономную.
Всегда? Это общий принцип?

 Профиль  
                  
 
 Re: период малых колебаний
Сообщение11.08.2015, 19:03 


10/02/11
6786
всегда в том смысле, что это определение малых колебаний в неголономной системе

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group