период малых колебаний

[Oleg Zubelevich]

Материальная точка массы $m$ соединена пружиной жесткости $k$ с началом декартовой системы координат так, что

$$L=\frac{m}{2}(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)-\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2).$$

Найти частоты малых колебаний системы в окрстности начала, если известно, что движение точки стеснено идеальной связью $\dot x+a\dot y+bx\dot z=0.$ Константы $a,b$ не равны нулю.

[Sicker]

Oleg Zubelevich
Связи не голономны.

[amon]

Sicker в сообщении #1044107 писал(а):

Связи не голономны.

Да, а что?

[Sicker]

amon
А то, что лагранжиан нельзя записать

[amon]

Да ну! Тут Oleg Zubelevich несколько тем этому посвятил, и на тебе, - оказывается таки нельзя ;) Есть такие множители Лагранжа - слыхали?

[Sicker]

Хотя можно записать уравнения Лагранжа второго рода через обобщенную силу.
Те в каждой точке пространства можно ввести еще дополнительную силу вкупе с силой растяжения пружины, которая будет давать ускорения по различным осям в сумме нулевое, те сумма проекций скоростей будет постоянная.

-- 10.08.2015, 22:50 --

amon
Слыхал.

(Оффтоп)

Я как раз их использовал для минимизации функционала электронной плотности

-- 10.08.2015, 22:56 --

Хм, получается Лагранж работает и для неголономных связей?

[Oleg Zubelevich]

в неголономной механике нет вариационного принципа, а лагранжев формализм есть, теорема Нетер даже есть

[Nemiroff]

$m\ddot x + kx=\lambda,$
$m\ddot y + ky=\lambda a,$
$m\ddot z + kz=\lambda bx.$
Дифференцируем связь, подставляем: $\lambda=\frac{k(x+ay+bxz)-bm\dot x\dot z}{1+a^2+b^2x^2}$
Линеаризуем, получаем ($p=k/m$)
$\ddot x + px=\frac{p}{1+a^2}(x+ay),$
$\ddot y + py=\frac{ap}{1+a^2}(x+ay),$
$\ddot z + pz=0$
Все частоты в (ко)синусах равны $\sqrt p$. ЧЯДНТ?

[Oleg Zubelevich]

Да, система с двумя степенями свободы, обе частоты равны $\sqrt{k/m}$. Смысл задачи в следующем. Можно линеаризовать саму связь: $\dot x+a\dot y=0\Longrightarrow x+ay=0.$ А это уже можно просто в лагранжиан подставить. Получилась голономная лагранжева система, дальше частоты определяются стандартно. В бесконечно малом неголономная связь превращается вв голономную.

[Nemiroff]

Oleg Zubelevich в сообщении #1044527 писал(а):

В бесконечно малом неголономная связь превращается вв голономную.

Всегда? Это общий принцип?

[Oleg Zubelevich]

всегда в том смысле, что это определение малых колебаний в неголономной системе