2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 11:03 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Точка движется в $\mathbb{R}^3$ с декартовыми координатами $x,y,z$ в поле с потенциальной функцией $U$, гладкой и однородной степени $(-2)$ по координатам, $T$ - кинетическая энергия.
Докажите, что на периодических траекториях, если таковые существуют, выполняются равенства: $T=U,x^2+y^2+z^2=\operatorname{const}$.
(Система в общем виде неинтегрируема).

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 11:51 


10/02/11
6786
Переходим в сферические координаты $r,\theta,\phi$. Потенциал приобретает вид $U=r^{-2}W(\theta,\phi)$. В гамильтониане отделяются перемнные $\theta,\phi$, появляется дополнительный квадратичный интеграл. Дальше не смотрел, но думаю, этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 12:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Дополнительный квадратичный интеграл действительно есть.
Но интегрировать-то уравнения вы же не собираетесь?
Если можете, продолжение было бы нелишним.
Во всяком случае предполагаемое решение его(доп. интеграл) не использует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 12:30 


10/02/11
6786
$H=p^2_r/2 +f/r^2$, где $f=f(p_\theta,p_\phi,\theta,\phi)$ -- упомянутый первый интеграл. Положим $f=c=const.$ Переменные $r,p_r$ удовлетворяют системе с гамильтонианом $H=p_r^2/2+c/r^2$. Если эта система имеет периодическое решение $r(t)$ то с необходимостью $c=0$. Остается $H=p_r^2/2$. У этой системы есть т олько одно периодическое решение $p_r=0,\quad r=const$ ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 14:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Все верно.
Не переходя к сферическим координатам и гамильтоновым обозначениям
предполагалось рассмотреть вдоль траектории производную $\dfrac{d}{dt}(x{\dot x}+y{\dot y}+z{\dot z})=2(T-U)$, откуда для периодических траекторий следует $T=U$
и $\dfrac{d}{dt}(x^2+y^2+z^2)=2(x{\dot x}+y{\dot y}+z{\dot z})$.
Откуда следует, что вдоль периодической траектории, учитывая $T=U$, справедливо $x^2+y^2+z^2=\operatorname{const}$.
Можно сменить размерность $3$ на $n$ ($T=\frac{1}{2}\Sigma\dot {x_i}^2$).
Этот прием проходит и утверждение остается верным.
Конечно, дополнительный квадратичный интеграл существует и в размерности $n$.
Но тут сферические координаты уже не подходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 15:00 


10/02/11
6786
scwec в сообщении #1043437 писал(а):
Но тут сферические координаты уже не подходят.

почему?

Задача. Доказать, что если в системе стартового поста $U(x)>0$ то имеются по крайней мере три периодических решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 17:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Oleg Zubelevich в сообщении #1043444 писал(а):
scwec в сообщении #1043437

писал(а):
Но тут сферические координаты уже не подходят.
почему?

Имелось в виду применение их не слишком целесообразно. Может быть лучше записать дополнительный квадратичный интеграл в гамильтоновых переменных естественным образом $F=(\Sigma{p_i}{q_i})^2-(\Sigma{p_i}^2-2U)\Sigma{q_i}^2$.
А так, конечно, кому как нравится.
Что касается задачи, то за счет $U>0$ всюду определена метрика Якоби при $T=U$ и замкнутые геодезические её - это периодические решения. На каждой поверхности $x^2+y^2+z^2=c$ по теореме Л. Шнирельмана не менее 3 замкнутых геодезических.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение08.08.2015, 23:52 


10/02/11
6786
периодичность можно заменить ограниченностью $|x|+|\dot x|<\infty$. тогда мы доказали, что в данной системе почти все решения неограничены. интересно попробовать доказать это для случая, когда $T$ -- произвольная положительно определенная квадратичная форма

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение09.08.2015, 12:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Все, что сказано выше, справедливо для $T=\frac{1}{2}\Sigma\frac{p_i^2}{m_i}$ (в том числе и про три геодезических при $U>0$).
То, что все периодические траектории лежат на $H=T-U=0$ для положительно определенной с постоянными коэффициентами квадратичной формы $T$ тоже следует из вышесказанного.
То, что почти все траектории не ограничены для произвольной положительно определенной $T$, надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории
Сообщение10.08.2015, 18:58 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Вот случай, когда совсем нет периодических траекторий.
Если $T=\Sigma{a_{ij}}\dot {q}_i\dot {q}_j$, $U$ и все $a_{ij}$ однородные функции по $q_i$ степени $(-2)$ и $U$ знакоопределенна, то периодических траекторий нет (кроме точек покоя).
Используется уже приведенный выше прием взятия производной от $\Sigma{q_i}\dot {q}_i$ вдоль траектории.
Можно рассмотреть случаи разной степени однородности $a_{ij}$. И там в некоторых случаях получается что-то более-менее осмысленное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group