Периодические траектории

[scwec]

Точка движется в $\mathbb{R}^3$ с декартовыми координатами $x,y,z$ в поле с потенциальной функцией $U$, гладкой и однородной степени $(-2)$ по координатам, $T$ - кинетическая энергия.
Докажите, что на периодических траекториях, если таковые существуют, выполняются равенства: $T=U,x^2+y^2+z^2=\operatorname{const}$.
(Система в общем виде неинтегрируема).

[Oleg Zubelevich]

Переходим в сферические координаты $r,\theta,\phi$. Потенциал приобретает вид $U=r^{-2}W(\theta,\phi)$. В гамильтониане отделяются перемнные $\theta,\phi$, появляется дополнительный квадратичный интеграл. Дальше не смотрел, но думаю, этого достаточно.

[scwec]

Дополнительный квадратичный интеграл действительно есть.
Но интегрировать-то уравнения вы же не собираетесь?
Если можете, продолжение было бы нелишним.
Во всяком случае предполагаемое решение его(доп. интеграл) не использует.

[Oleg Zubelevich]

$H=p^2_r/2 +f/r^2$, где $f=f(p_\theta,p_\phi,\theta,\phi)$ -- упомянутый первый интеграл. Положим $f=c=const.$ Переменные $r,p_r$ удовлетворяют системе с гамильтонианом $H=p_r^2/2+c/r^2$. Если эта система имеет периодическое решение $r(t)$ то с необходимостью $c=0$. Остается $H=p_r^2/2$. У этой системы есть т олько одно периодическое решение $p_r=0,\quad r=const$ ЧТД

[scwec]

Все верно.
Не переходя к сферическим координатам и гамильтоновым обозначениям
предполагалось рассмотреть вдоль траектории производную $\dfrac{d}{dt}(x{\dot x}+y{\dot y}+z{\dot z})=2(T-U)$, откуда для периодических траекторий следует $T=U$
и $\dfrac{d}{dt}(x^2+y^2+z^2)=2(x{\dot x}+y{\dot y}+z{\dot z})$.
Откуда следует, что вдоль периодической траектории, учитывая $T=U$, справедливо $x^2+y^2+z^2=\operatorname{const}$.
Можно сменить размерность $3$ на $n$ ($T=\frac{1}{2}\Sigma\dot {x_i}^2$).
Этот прием проходит и утверждение остается верным.
Конечно, дополнительный квадратичный интеграл существует и в размерности $n$.
Но тут сферические координаты уже не подходят.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #1043437 писал(а):

Но тут сферические координаты уже не подходят.

почему?

Задача. Доказать, что если в системе стартового поста $U(x)>0$ то имеются по крайней мере три периодических решения.

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043444 писал(а):

scwec в сообщении #1043437

писал(а):
Но тут сферические координаты уже не подходят.
почему?

Имелось в виду применение их не слишком целесообразно. Может быть лучше записать дополнительный квадратичный интеграл в гамильтоновых переменных естественным образом $F=(\Sigma{p_i}{q_i})^2-(\Sigma{p_i}^2-2U)\Sigma{q_i}^2$.
А так, конечно, кому как нравится.
Что касается задачи, то за счет $U>0$ всюду определена метрика Якоби при $T=U$ и замкнутые геодезические её - это периодические решения. На каждой поверхности $x^2+y^2+z^2=c$ по теореме Л. Шнирельмана не менее 3 замкнутых геодезических.

[Oleg Zubelevich]

периодичность можно заменить ограниченностью $|x|+|\dot x|<\infty$. тогда мы доказали, что в данной системе почти все решения неограничены. интересно попробовать доказать это для случая, когда $T$ -- произвольная положительно определенная квадратичная форма

[scwec]

Все, что сказано выше, справедливо для $T=\frac{1}{2}\Sigma\frac{p_i^2}{m_i}$ (в том числе и про три геодезических при $U>0$).
То, что все периодические траектории лежат на $H=T-U=0$ для положительно определенной с постоянными коэффициентами квадратичной формы $T$ тоже следует из вышесказанного.
То, что почти все траектории не ограничены для произвольной положительно определенной $T$, надо подумать.

[scwec]

Вот случай, когда совсем нет периодических траекторий.
Если $T=\Sigma{a_{ij}}\dot {q}_i\dot {q}_j$, $U$ и все $a_{ij}$ однородные функции по $q_i$ степени $(-2)$ и $U$ знакоопределенна, то периодических траекторий нет (кроме точек покоя).
Используется уже приведенный выше прием взятия производной от $\Sigma{q_i}\dot {q}_i$ вдоль траектории.
Можно рассмотреть случаи разной степени однородности $a_{ij}$. И там в некоторых случаях получается что-то более-менее осмысленное.