Задача на делимость

[karandash_oleg]

Действительно, никак не получается.

Давайте тогда по-другому. $a^2+b^2+1=c^2$, исключим $c^2$ из равенств $a^2+c^2+1=nb^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$.

$a^2+a^2+b^2+1+1=nb^2$, значит $2a^2+2=(n-1)b^2$

$b^2+a^2+b^2+1+1=ma^2$, значит $2b^2+2=(m-1)a^2$

$a^2+1=\dfrac{(n-1)b^2}{2}$, $a^2=\dfrac{(n-1)b^2}{2}-1$

$2b^2+2=(m-1)\cdot \left(\dfrac{(n-1)b^2}{2}-1\right)$

Отсюда можно попробовать выразить $b^2$, но это по-моему тупиковый вариант.

[NSKuber]

karandash_oleg в сообщении #1040634 писал(а):

значит $2a^2+2=(n-1)b^2$

Вот здесь остановитесь. Попробуйте оценить правую часть (а точнее $b^2$) снизу так, чтобы в полученном неравенстве $a$ ушло и мы могли узнать, чему же может быть равно $n$.

[karandash_oleg]

NSKuber в сообщении #1040633 писал(а):

И я не это советовал. Возьмите равенство

$$a^2+b^2+1=c^2\,(1)$$

и сложите его левую и правую части с равенством

$$a^2+c^2+1=nb^2$$

Поработайте над получившимся, сделайте какие-то выводы. Потом сложите $(1)$ с

$$b^2+c^2+1=ma^2$$

и снова попреобразовывайте. Если не пытаться с наскока угадать решение, а посидеть и подумать, то всё должно получиться.

Первый раз складываем:

$2a^2+b^2+c^2+2=c^2+nb^2$, тогда $2a^2+2=(n-1)b^2$

Второй раз складываем:

$a^2+2b^2+c^2+2=ma^2+c^2$, тогда $2b^2+2=(m-1)a^2$.

Теперь вычтем из первого второе.

$2(a^2-b^2)=(n-1)b^2-(m-1)a^2$

$2a^2+(m-1)a^2=2b^2+(n-1)b^2$

$(m+1)a^2=(n+1)b^2$

Теперь сложим первое и второе

$2(a^2+b^2)+4=(n-1)b^2+(m-1)a^2$

$(n-3)a^2+(m-3)b^2=4$

[NSKuber]

karandash_oleg в сообщении #1040636 писал(а):

$(n-3)a^2+(m-3)b^2=0$

Значит $m=n=3$.

Вы тут четвёрку потеряли в правой части.
Я уже выше ответил к предыдущему посту, посмотрите.
Но даже если бы там был ноль, это бы не дало $n=m=3$, так как могло быть, например, $m=2,n=7,b=2a$.

[karandash_oleg]

NSKuber в сообщении #1040637 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1040636 писал(а):

$(n-3)a^2+(m-3)b^2=0$

Значит $m=n=3$.

Вы тут четвёрку потеряли в правой части.
Я уже выше ответил к предыдущему посту, посмотрите.

Ок, да, спасибо, подправил четверку

-- 26.07.2015, 15:12 --

NSKuber в сообщении #1040635 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1040634 писал(а):

значит $2a^2+2=(n-1)b^2$

Вот здесь остановитесь. Попробуйте оценить правую часть (а точнее $b^2$) снизу так, чтобы в полученном неравенстве $a$ ушло и мы могли узнать, чему же может быть равно $n$.

$2a^2+2=(n-1)a^2$, тогда $(n-3)a^2=2$, тогда $a=1$, $n=4$. Оценка снизу будет $3b^2$

Получим оценку сверху.

$2b^2+2=(n-1)b^2$, то $n=4$.

Значит $n=4$ по-любому. Аналогично, получаем, что $m=4$, тогда полученная система не имеет натуральных решений. Правильно?

[NSKuber]

karandash_oleg в сообщении #1040638 писал(а):

$2a^2+2=(n-1)a^2$

Откуда взялось такое равенство? Было другое, с $b$ в правой части. А если вы заменили его на $a$, надо ставить знак неравенства, и полезного получим мало.
Я другого от вас хотел: в равенстве $2a^2+2=(n-1)b^2$ оцените $b^2$ чем-то снизу так, чтобы $a$ во всех своих проявлениях можно было с чистой совестью сократить и осталось неравенство на $n$. Можете в левой части общий множитель вынести, чтобы стало понятно, чем оценивать

[karandash_oleg]

NSKuber в сообщении #1040640 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1040638 писал(а):

$2a^2+2=(n-1)a^2$

Откуда взялось такое равенство? Было другое, с $b$ в правой части. А если вы заменили его на $a$, надо ставить знак неравенства, и полезного получим мало.
Я другого от вас хотел: в равенстве $2a^2+2=(n-1)b^2$ оцените $b^2$ чем-то снизу так, чтобы $a$ во всех своих проявлениях можно было с чистой совестью сократить и осталось неравенство на $n$. Можете в левой части общий множитель вынести, чтобы стало понятно, чем оценивать

$(n-1)a^2<2a^2+2=(n-1)b^2$

Значит $(n-3)a^2<2$. Тогда $a=1$, $n-3=1$m значит $n=4$, вот так будет правильно?

Пока что не очень понял про сокращение $a$

[NSKuber]

karandash_oleg в сообщении #1040649 писал(а):

Значит $(n-3)a^2<2$. Тогда $a=1$, $n-3=1$m значит $n=4$, вот так будет правильно?

Нет. $n$ может быть и меньше четвёрки (в таком случае неравенство будет выполняться для любого $a$).
Ну хорошо, я уж вам напишу, что имел в виду: $b^2>a^2+1$. Надеюсь, это неравенство очевидно? Используя его, получаем:
$2a^2+2=2(a^2+1)=(n-1)b^2>(n-1)(a^2+1)$. Тут-то и можно обе части сократить и выяснить точно, чему же равно $n$.

[karandash_oleg]

Спасибо! Извиняюсь, что так долго не отвечал (лето-таки)

$2(a^2+1)>(n-1)(a^2+1)$, $n-1<2$, значит $n<3$. Тогда $n=1$ или $n=2$.

Рассмотрим оба варианта.

1) $n=1$

$a^2+b^2+1=c^2$, исключим $c^2$ из равенств $a^2+c^2+1=b^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$ получаем:

$2a^2+b^2+2=b^2$, что не может выполняться, так как $2a^2+2>0$.

2) $n=2$

$a^2+b^2+1=c^2$, исключим $c^2$ из равенств $a^2+c^2+1=2b^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$ получаем:

$2a^2+b^2+2=2b^2$, тогда $b^2=2(a^2+1)$, тогда $2(a^2+1)+a^2+2(a^2+1)+1+1=ma^2$, то есть $5a^4+6=ma^2$, значит $(m-5)a^2=6$

Ну а раз так, то $a=1$, а значит $m=6$. Тогда $b=2$, $\sqrt{6}$, так как $c$ нецелое, то получаем противоречие, значит таких чисел нет. Верно?

[Cash]

karandash_oleg в сообщении #1042117 писал(а):

то есть $5a^4+6=ma^2$, значит $(m-5)a^2=6$

проясните
upd. Привычка читать с конца, тут просто опечатка. Тогда вроде все ок.

[Shadow]

Задача легко решается и без искусственного условия "все три числа - квадраты".

[karandash_oleg]

Cash в сообщении #1042178 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1042117 писал(а):

то есть $5a^4+6=ma^2$, значит $(m-5)a^2=6$

проясните
upd. Привычка читать с конца, тут просто опечатка. Тогда вроде все ок.

Да, имелось ввиду $5a^2+6=ma^2$

Спасибо большое!

-- 02.08.2015, 22:43 --

Shadow в сообщении #1042212 писал(а):

Задача легко решается и без искусственного условия "все три числа - квадраты".

А это как?

[Shadow]

karandash_oleg в сообщении #1042266 писал(а):

А это как?

А также. Пусть $a<b<c$

$\\c\mid (a+b+1)\\ b\mid (a+c+1)\\ a\mid (b+c+1)$

Из первого условия $c=a+b+1$ - без вариантов т.к $a+1<c,b<c\Rightarrow a+b+1<2c$

Из второго $b\mid [a+(a+b+1)+1]\Rightarrow b\mid (2a+2)$

Тут два варианта: $2a+2=b,\;2a+2=2b$

Получаются такие возможные тройки: $(a,2a+2,3a+3),\;(a,a+1,2a+2)$

Из третьего условия $a\mid (b+c+1)$ получаем в первом случае $a\mid 6$, во втором $a\mid 4$
Всего семь решений.

[karandash_oleg]

Shadow в сообщении #1042340 писал(а):

Из третьего условия $a\mid (b+c+1)$ получаем в первом случае $a\mid 6$, во втором $a\mid 4$
Всего семь решений.

А я думал, что тут ноль решений должно быть, что-то не очень понимаю.

А что значит значок $|$? (делится?)

[Lia]

Делит.