Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова

[Divergence]

Не получается разобраться с числовым рядом

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty \ k \ne 0 \ k \ne n} \frac{1}{k \, (k-n)} = ? \quad n,k \in\mathbb{Z} . $$

В книге "Интегралы и ряды. Элементарные функции" Прудников, Брычков, Маричев (1981) нашел формулу 5.1.6.11 (страница 656), которая имеет вид

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{k \, (k+a)} = \frac{1}{a^2} - \frac{\pi \, \cos (\pi \, a)}{ a\, \sin (\pi \, a)} . $$

Если я правильно понимаю, то для случай целого $a=n \in \mathbb{Z}$ справа в книжной формуле получаем бесконечность.
Если это верно, то конечные значения справа получаем только для нецелых $a$.
Однако слева в книжной формуле сумму тоже нельзя рассматривать для $k=0$ ?
Или я неправ?
Подозреваю, что исключив из суммы слева слагаемые, дающие бесконечности ($k=0$, $k=a=n$), должны получить отсутствие бесконечностей и справа, то есть получить формулу

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty \ k \ne 0 \ k \ne n} \frac{1}{k \, (k-n)} = \frac{2}{a^2} \quad n \in\mathbb{Z} ? $$

Однако обосновать (или доказать) это не могу, и не уверен правильный ли у меня ответ.

Проверка для $n=2$. Используя формулу 5.1.7.3 из тоже книги

$$ \sum^{+\infty}_{k=1} \frac{1}{k \, (k+2)} = \frac{3}{4} . $$

получаю

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty \ k \ne 0 \ k \ne 2} \frac{1}{k \, (k-2)} = 2 \sum^{+\infty}_{k=1} \frac{1}{k \, (k+2)}-1 =\frac{1}{2} $$

[Otta]

Ну можно довольно тупо и безыдейно посчитать частичные суммы с предварительным разложением на простейшие.

[Divergence]

А почему в формуле справочника слева в сумме не исключен случай $k=0$ и $k=a$ ? Ошибка?

[Otta]

Должно быть суммирование по всем ненулевым $k$, $a$ - не целое.

[Divergence]

Если такое предполагать про справочник, то можно было бы написать в справочнике формулу

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{k \, (k-n)} = \frac{2}{n^2} \quad n \in\mathbb{Z} , $$

не указывая явно $k \ne 0 \ k \ne n$.
А что? формула не хуже других на этой странице и даже более общая, чем многие из них!

[Otta]

Divergence в сообщении #1042133 писал(а):

Если такое предполагать про справочник,

Не очень поняла, о чем Вы. Формула действительно верна при указанных условиях. Если ограничения отсутствуют явно, возможно, перед этим или в начале книги были какие-то предварительные договоренности, про естественные ограничения на область определения, например. Хотя в справочниках так делать не принято, как правило.

[Divergence]

Я все про свою формулу:

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{k \, (k-n)} = \frac{2}{n^2} \quad n \in\mathbb{Z} $$

где $k \ne 0 \ k \ne n$.
Она верна или нет?

[Otta]

А почему бы Вам не проверить. В общем случае. Занятие на 10-15 минут.

[Divergence]

В этом и был мой вопрос с самого начала. А Ваш совет не понял как реализовать доказательство (или проверку).
(Да ограничение yадо добавить $n\ne0$, а не любое целое $n$.)

[Otta]

Divergence в сообщении #1042137 писал(а):

(Да ограничение yадо добавить $n\ne0$, а не любое целое $n$.)

Да, конечно.

Ну как дробь на сумму простейших разложить? Вообще ряды такого типа на первом курсе учат суммировать. В Демидовиче всяко есть что-то типа $\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}$. Этот совершенно такой же. Ну почти.

[Divergence]

Ту сумму которую вы написали можно и онлайн вычислить (=1)
http://matematikam.ru/calculate-online/series-summa.php
Как разлагать знаем. А что делать дальше с простейшими $1/k$ $1/(k-n)$. Нужно же для произвольного $n$, а не для 1 как в вашем примере.
В общем случае сумма от -N до N -через полигамма-функцию выражается и там еще и бесконечность выскакивает.

[Otta]

Вот это гадское онлайн и губит людей. А ну-ка Вы ее ручками посчитайте, а? Вот прям щас. Именно ту простую сумму.
Можно сюда не писать, как считали. Но посчитайте.

А если Вам единица кажется принципиально влияющей на жизнь, следом посчитайте $\sum_{k=4}^\infty\frac{1}{k(k-3)}$.

[Divergence]

Простейшая сумма ручками тоже не проблема. Но с произвольным $n$ тону:

$$ \sum^{N}_{k=-N} \frac{1}{k(k-n)} = \frac{1}{n}\Bigl( \frac{1}{1-n}+\frac{1}{-1-n} +\frac{1}{2-n}+\frac{1}{-2-n} + . . .+ \frac{1}{N-n}+\frac{1}{-N-n} \Bigr)$$

и дальше непонятка (выстроить схему сокращений неполучается).

Не понятно как поступать и частичной суммой через полигамма-функцию в виде

$$ \sum^{N}_{k=-N} \frac{1}{k(k-n)} = \frac{1}{n} \Bigl( \psi(-n+N+1) - \psi(n+N+1) - \psi(-n)+ \psi(n) \Bigr) + \frac{1}{sgn(n)} \infty. $$

[whitefox]

Считайте Телескопические суммы.

[Otta]

whitefox в сообщении #1042142 писал(а):

Считайте Телескопические суммы
.

Дык вот беда, для единицы-то ТС умеет )) ($n=1$), а вот когда $n$ - это $n$...

А когда $n$ - это $n$, ничего принципиально не меняется, не надо сюда полигаммы тащить. Путаетесь в частичных суммах - пишите сумму всего ряда. Раскладывайте на разность, меняйте индекс суммирования, чтобы сделать одинаковый общий член, будет видно сразу, какие слагаемые сократятся... но только бога ради, не пишите весь ряд в кучу. Вы не сможете, у Вас два слагаемых выпадают. Значит, надо смотреть три суммы порознь. Ну или две - но это уже можно делать только умеючи. Рассматривайте три, на которые при выпадении двух индексов Ваш ряд делится естественным образом. Там все очень хорошо получается. Если не экономить места - шести строк хватает. Если экономить - влезет в две.