2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 00:54 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Не получается разобраться с числовым рядом
$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty \ k \ne 0 \ k \ne n} \frac{1}{k \, (k-n)} = ? \quad n,k \in\mathbb{Z} . $$

В книге "Интегралы и ряды. Элементарные функции" Прудников, Брычков, Маричев (1981) нашел формулу 5.1.6.11 (страница 656), которая имеет вид
$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{k \, (k+a)} = \frac{1}{a^2} - \frac{\pi \, \cos (\pi \, a)}{ a\, \sin (\pi \, a)} . $$

Если я правильно понимаю, то для случай целого $a=n \in \mathbb{Z}$ справа в книжной формуле получаем бесконечность.
Если это верно, то конечные значения справа получаем только для нецелых $a$.
Однако слева в книжной формуле сумму тоже нельзя рассматривать для $k=0$ ?
Или я неправ?
Подозреваю, что исключив из суммы слева слагаемые, дающие бесконечности ($k=0$, $k=a=n$), должны получить отсутствие бесконечностей и справа, то есть получить формулу
$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty \ k \ne 0 \ k \ne n} \frac{1}{k \, (k-n)} = \frac{2}{a^2} \quad n \in\mathbb{Z} ? $$
Однако обосновать (или доказать) это не могу, и не уверен правильный ли у меня ответ.

Проверка для $n=2$. Используя формулу 5.1.7.3 из тоже книги
$$ \sum^{+\infty}_{k=1} \frac{1}{k \, (k+2)} = \frac{3}{4} . $$
получаю
$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty \ k \ne 0 \ k \ne 2} \frac{1}{k \, (k-2)} = 2 \sum^{+\infty}_{k=1} \frac{1}{k \, (k+2)}-1 =\frac{1}{2} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 01:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну можно довольно тупо и безыдейно посчитать частичные суммы с предварительным разложением на простейшие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 02:19 
Аватара пользователя


12/11/13
337
А почему в формуле справочника слева в сумме не исключен случай $k=0$ и $k=a$ ? Ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 02:36 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Должно быть суммирование по всем ненулевым $k$, $a$ - не целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 02:52 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Если такое предполагать про справочник, то можно было бы написать в справочнике формулу
$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{k \, (k-n)} = \frac{2}{n^2} \quad n \in\mathbb{Z}  , $$
не указывая явно $k \ne 0 \ k \ne n$.
А что? формула не хуже других на этой странице и даже более общая, чем многие из них!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence в сообщении #1042133 писал(а):
Если такое предполагать про справочник,

Не очень поняла, о чем Вы. Формула действительно верна при указанных условиях. Если ограничения отсутствуют явно, возможно, перед этим или в начале книги были какие-то предварительные договоренности, про естественные ограничения на область определения, например. Хотя в справочниках так делать не принято, как правило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:16 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Я все про свою формулу:
$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{k \, (k-n)} = \frac{2}{n^2} \quad n \in\mathbb{Z}  $$
где $k \ne 0 \ k \ne n$.
Она верна или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А почему бы Вам не проверить. В общем случае. Занятие на 10-15 минут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:21 
Аватара пользователя


12/11/13
337
В этом и был мой вопрос с самого начала. А Ваш совет не понял как реализовать доказательство (или проверку).
(Да ограничение yадо добавить $n\ne0$, а не любое целое $n$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence в сообщении #1042137 писал(а):
(Да ограничение yадо добавить $n\ne0$, а не любое целое $n$.)

Да, конечно.

Ну как дробь на сумму простейших разложить? Вообще ряды такого типа на первом курсе учат суммировать. В Демидовиче всяко есть что-то типа $\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}$. Этот совершенно такой же. Ну почти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:41 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Ту сумму которую вы написали можно и онлайн вычислить (=1)
http://matematikam.ru/calculate-online/series-summa.php
Как разлагать знаем. А что делать дальше с простейшими $1/k$ $1/(k-n)$. Нужно же для произвольного $n$, а не для 1 как в вашем примере.
В общем случае сумма от -N до N -через полигамма-функцию выражается и там еще и бесконечность выскакивает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вот это гадское онлайн и губит людей. А ну-ка Вы ее ручками посчитайте, а? Вот прям щас. Именно ту простую сумму.
Можно сюда не писать, как считали. Но посчитайте.

А если Вам единица кажется принципиально влияющей на жизнь, следом посчитайте $\sum_{k=4}^\infty\frac{1}{k(k-3)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 03:59 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Простейшая сумма ручками тоже не проблема. Но с произвольным $n$ тону:
$$ \sum^{N}_{k=-N} \frac{1}{k(k-n)} = \frac{1}{n}\Bigl( \frac{1}{1-n}+\frac{1}{-1-n} +\frac{1}{2-n}+\frac{1}{-2-n} + . . .+ \frac{1}{N-n}+\frac{1}{-N-n}  \Bigr)$$
и дальше непонятка (выстроить схему сокращений неполучается).

Не понятно как поступать и частичной суммой через полигамма-функцию в виде
$$ \sum^{N}_{k=-N} \frac{1}{k(k-n)} = \frac{1}{n} \Bigl( \psi(-n+N+1) -  
\psi(n+N+1) - \psi(-n)+  \psi(n) \Bigr) + \frac{1}{sgn(n)} \infty. $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 04:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Считайте Телескопические суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма числового ряда и формула из справочника Прудникова
Сообщение02.08.2015, 04:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
whitefox в сообщении #1042142 писал(а):
Считайте Телескопические суммы
.

Дык вот беда, для единицы-то ТС умеет )) ($n=1$), а вот когда $n$ - это $n$...

А когда $n$ - это $n$, ничего принципиально не меняется, не надо сюда полигаммы тащить. Путаетесь в частичных суммах - пишите сумму всего ряда. Раскладывайте на разность, меняйте индекс суммирования, чтобы сделать одинаковый общий член, будет видно сразу, какие слагаемые сократятся... но только бога ради, не пишите весь ряд в кучу. Вы не сможете, у Вас два слагаемых выпадают. Значит, надо смотреть три суммы порознь. Ну или две - но это уже можно делать только умеючи. Рассматривайте три, на которые при выпадении двух индексов Ваш ряд делится естественным образом. Там все очень хорошо получается. Если не экономить места - шести строк хватает. Если экономить - влезет в две.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group