Об изотопии и топологической эквивалентности

[Mikhail_K]

Во многих книгах по топологии, когда хотят объяснить её предмет "на пальцах", упоминают что-то вроде "изучения свойств фигур, не меняющихся при деформациях - без разрывов и склеиваний".

Под "деформацией без разрывов и склеиваний" подразумевается гомеоморфизм. В какой-то мере так оно и есть, однако если мы будем искать математическое понятие, в точности соответствующее интуитивному понятию такой деформации, у гомеоморфизма как кандидата на эту роль мы найдём недостатки.

Например, окружность в $\mathbb{R}^3$ гомеоморфна любому узлу, но не превращается в него при непрерывной деформации.
Другой неприятный пример: открытый отрезок гомеоморфен прямой, а открытый шар - всему пространству. Интуитивно не кажется, что они совмещаются какой-то деформацией, во всяком случае "хорошей" и "конечной".

Другой кандидат - понятие топологической эквивалентности. Два множества $M,N\subset\mathbb{R}^n$ называются топологически эквивалентными (или "одинаково вложенными в $\mathbb{R}^n$"), если существует гомеоморфизм пространства $\mathbb{R}^n$ на себя, совмещающий множества $M$ и $N$.
У этого кандидата много плюсов. Все топологически эквивалентные множества гомеоморфны; при этом интервал и прямая (в пространстве любой размерности), открытый шар и пространство той же размерности топологически неэквивалентны. Кроме того, топологическая эквивалентность позволяет различать многие узлы, но, к сожалению, не все: например, узел-трилистник и его зеркальное отражение, очевидно, одинаково вложены в $\mathbb{R}^3$ (требуемый гомеоморфизм пространства на себя - зеркальное отражение этого пространства); однако, если мы изготовим эти узлы из верёвки, то не сможем без разрезания верёвки превратить один в другой.

Следующий кандидат - понятие изотопии. Это тоже усиление понятия гомеоморфизма: изотопные множества в $\mathbb{R}^n$ обязательно гомеоморфны, но не наоборот. Но, к сожалению, с этим понятием беда. В большинстве книг по топологии ему уделяется очень мало места; кроме того, в разных книгах изотопия определяется существенно по-разному. Есть книги, в которых изотопия определяется как топологическая эквивалентность (см. выше). Но не только так; существуют ещё по крайней мере два различных определения изотопии.

Изотопия-1. Два вложения $f:X\to\mathbb{R}^n$ и $g:X\to\mathbb{R}^n$ топологического пространства $X$ в $\mathbb{R}^n$ (под вложением понимается гомеоморфизм $X$ и некоторого подмножества $\mathbb{R}^n$) называются изотопными, если существует отображение $F:[0,1]\times X\to\mathbb{R}^n$, непрерывное по первому аргументу и такое, что $F(0,x)$ совпадает с $f(x)$, $F(1,x)$ совпадает с $g(x)$ для всех $x\in X$ и при любом фиксированном $t\in (0,1)$ отображение $F(t,\cdot)$ есть вложение $X$ в $\mathbb{R}^n$. Одновременно, изотопными (в $\mathbb{R}^n$) называются и сами образы $M=f(X)$ и $N=g(X)$.
Плюс данного определения в том, что оно позволяет различать интуитивно различные узлы, в том числе трилистник и его зеркальное отражение. Минус в том, что интервал и прямая, а также открытый шар и всё пространство, будут изотопными в смысле данного определения.

Однако, в литературе я нашёл также и иное определение изотопии, отличное от предыдущих двух, и, по-видимому, идеальное во всех смыслах.

Изотопия-2. Две фигуры $M,N\subset\mathbb{R}^n$ называются изотопными в $\mathbb{R}^n$, если существует отображение $F:[0,1]\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, непрерывное по первому аргументу и при любом его значении являющееся гомеоморфизмом пространства $\mathbb{R}^n$ на себя, и такое что $F(0,x)=x$ для всех $x\in\mathbb{R}^n$ и $F(1,M)=N$. Одновременно, гомеоморфизм $F(1,\cdot):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ называется изотопным тождественному.
Такая изотопия позволяет как различить интервал и прямую, открытый шар и пространство той же размерности, так и классифицировать узлы.

----------

К сожалению, всю информацию об изотопии мне приходится вытягивать понемногу из разных источников. Посоветуйте литературу, где бы такие вопросы подробно обсуждались!

Например: велик ли разрыв между топологической эквивалентностью и изотопией - когда они отличаются, когда не отличаются?

Почему такой разброс в определении изотопии в различных книгах (три существенно разных определения!) Является ли какое-нибудь из них в большей степени общепринятым?

Правда ли, что любые гомеоморфные множества, допускающие вложение в некоторое $\mathbb{R}^n$, в некотором пространстве $\mathbb{R}^N$ большей размерности обязательно будут изотопны (подобно тому как любой узел развязывается в $\mathbb{R}^4$)?

Что можно сказать о классификации двумерных поверхностей (с краем или хотя бы без края) с точностью до изотопии в $\mathbb{R}^3$? Очевидно, такая классификация должна быть гораздо сложнее стандартной классификации с точностью до гомеоморфизма. В частности, она должна включать в себя теорию узлов: каждому узлу соответствует связанный этим узлом тор, неизотопный торам, связанным другими узлами; а уж если рассмотреть ещё всевозможные сферы с ручками, у которых ручки завязываются и переплетаются сложным образом... Тем не менее, что-нибудь на эту тему обязательно где-то должно быть.

И другие подобные вопросы.

[Mikhail_K]

Первый вопрос, про разрыв между топологической эквивалентностью и изотопией (в варианте Изотопия-2), пожалуй, можно сформулировать так, без всяких фигур:

Сколько существует гомеоморфизмов $\mathbb{R}^3$ на себя, которые нельзя соединить изотопией (т.е. гомотопией, состоящей только из гомеоморфизмов)?
Правда ли, что таких гомеоморфизмов только два - тождественный и зеркальное отражение? Или их больше?

[Mikhail_K]

Кое-что удалось найти в книге Хирша "Дифференциальная топология".
Оказывается, в случае, если фигура $M$ есть компактное подмногообразие $\mathbb{R}^n$, то для неё "изотопия-1" совпадает с "изотопией-2"; другими словами, любая изотопия отображения $M\to\mathbb{R}^n$ продолжается до изотопии отображений $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ (глава 8, теорема 1.3). Это верно также если объемлющее пространство не есть $\mathbb{R}^n$, а какое-нибудь другое многообразие.

Указанный в моём первом посте пример различия между "изотопией-1" и "изотопией-2" относится как раз к случаю, когда изотопируемая фигура некомпактна, а именно интервал/прямая или открытый шар/подпространство той же размерности.

----------

Упрекаю этот форум и его участников в отсутствии интереса к таким основополагающим вопросам. По-моему, эти вопросы должны неизбежно возникать у каждого изучающего топологию. Они естественнее, чем многие другие изложенные в учебниках по топологии вопросы!

----------

Однако остаётся вопрос, в наибольшей мере интересующий меня: как соотносится изотопия с топологической эквивалентностью? Другими словами, сколько существует гомеоморфизмов $\mathbb{R}^n$ на себя, которые попарно нельзя соединить непрерывной деформацией? На ум приходят только: тождественный гомеоморфизм и зеркальное отражение. Есть ли другие?
Разве это не интересный вопрос?

----------

Ещё один очень естественный вопрос: ответ практически точно утвердительный, но хотелось бы его найти в какой-нибудь литературе. Правда ли, что любое многообразие $M$ вкладывается в некоторое пространство $\mathbb{R}^N$ с достаточно большим $N$ единственным образом с точностью до изотопии? То есть любые два (гомеоморфных) вложения $f,g:M\to\mathbb{R}^N$ можно будет соединить непрерывной деформацией?

[Munin]

Такое впечатление, что вы мучаетесь, не зная понятия гомотопии.

[Mikhail_K]

Munin, я знаю понятие гомотопии. Почему Вам кажется иначе?
Но мне интересно не оно, а понятие изотопии.
В отличие от изотопии, гомотопия может не состоять из гомеоморфизмов.

----------

Нашёл в книге Милнора "Топология с дифференциальной точки зрения", параграф 6, нечто очень похожее на ответ на мой вопрос.

Цитата:

Любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм $f$ евклидова пространства $R^m$ гладко изотопен тождественному.

Вот бы ещё то же самое для гомеоморфизмов, совсем хорошо было бы.

Кстати! На форуме эта тема обсуждалась когда-то, но так и заглохла.
topic31468.html

Ещё одна формулировка того же самого вопроса: какова группа гомеотопий (не гомотопий) пространства $\mathbb{R}^n$? Ну не может же такого быть, что для всяких многообразий эта группа известна, а для обычного пространства нет.

----------

-- 28.07.2015, 12:30 --

Отсюда: http://lib.repetitors.eu/encmathematics/?dic_tid=1840

Цитата:

доказана изотопность любых двух гомеоморфизмов сферы $S^n$ на себя, сохраняющих ориентацию

А про $\mathbb{R}^n$ ничего не сказано.

[Mikhail_K]

----------
Более точная терминология, чем в моём первом посте:
"Изотопия-1" - это то, что в литературе называется просто "изотопией"; а "изотопия-2" в литературе называется объемлющей, или накрывающей изотопией.

----------

Что-то я начал запутываться.
Предположим, у нас есть узел (гомеоморфный образ окружности в $\mathbb{R}^3$), и этот узел нетривиален.
Возьмём его и начнём затягивать.
В какой-то момент у нас бОльшая часть узла будет выглядеть как обычная окружность, а сам узелок будет сконцентрирован в маленькой области.
Возьмём да затянем его полностью, в точку. Получится окружность.
Чем это не изотопия (в смысле 1)? В какой момент здесь нарушена непрерывность по времени $t$, либо нарушен гомеоморфизм исходного узла? Фокус в том, что ближе к концу операции мы делаем узелок сколь угодно малым, в результате чего разные точки не склеиваются в одну, и гомеоморфизм вроде бы не нарушается.
Вместе с тем, конечно же, это не изотопия в смысле 2 (более строго, она не допускает накрывающей изотопии), потому что нетривиальный узел и окружность топологически не эквивалентны (по-разному вложены в $\mathbb{R}^3$).
Но, значит, утверждение выше из книги Хирша о том, что изотопия любого компактного подмногообразия допускает накрывающую, неверно? Или я его неправильно понял?
Помогите разобраться, кто в теме!

[Mikhail_K]

----------
Также мне была бы интересна литература по узлам, особенно диким узлам.
Там я могу надеяться найти ответ на вопрос, связанный с заданными выше: когда два узла топологически эквивалентны (т.е. существует гомеоморфизм $\mathbb{R}^3$ на себя, совмещающий их), но тем не менее неизотопны (в смысле накрывающей изотопии $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$). А ещё есть такие случаи, не сводящиеся к "правым" или "левым" формам? Может быть, такие случаи должны появиться именно при рассмотрении диких узлов?

Что касается теорем из книг по дифференциальной топологии, похоже, они относятся к гладкому случаю, а при "затягивании узла" возникает негладкость.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1040980 писал(а):

Ещё один очень естественный вопрос: ответ практически точно утвердительный, но хотелось бы его найти в какой-нибудь литературе. Правда ли, что любое многообразие $M$ вкладывается в некоторое пространство $\mathbb{R}^N$ с достаточно большим $N$ единственным образом с точностью до изотопии? То есть любые два (гомеоморфных) вложения $f,g:M\to\mathbb{R}^N$ можно будет соединить непрерывной деформацией?

По-моему, это называется "Unknotting theorem".

-- Вт, 28 июл 2015 06:26:45 --

Mikhail_K в сообщении #1041008 писал(а):

А про $\mathbb{R}^n$ ничего не сказано.

Любой гомеоморфизм $\mathbb R^n$ на себя однозначно продолжается на одноточечную компактификацию. Например, потому что образ компакта компакт. Поэтому вопрос про сферу эквивалентен вопросу про $\mathbb R^n$.

Вот ещё частичный ответ: http://mathoverflow.net/questions/18527 ... omplements

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1040980 писал(а):

Упрекаю этот форум и его участников в отсутствии интереса к таким основополагающим вопросам. По-моему, эти вопросы должны неизбежно возникать у каждого изучающего топологию. Они естественнее, чем многие другие изложенные в учебниках по топологии вопросы!

Вы о чём? Об изотопии? Ну, это весьма специальное понятие. И вопросы ваши об изотопиях весьма частные.

Mikhail_K в сообщении #1039858 писал(а):

Во многих книгах по топологии, когда хотят объяснить её предмет "на пальцах", упоминают что-то вроде "изучения свойств фигур, не меняющихся при деформациях - без разрывов и склеиваний".

Под "деформацией без разрывов и склеиваний" подразумевается гомеоморфизм. В какой-то мере так оно и есть, однако если мы будем искать математическое понятие, в точности соответствующее интуитивному понятию такой деформации, у гомеоморфизма как кандидата на эту роль мы найдём недостатки.

Видите ли, ситуация совершенно другая. Первичным является определение топологического пространства как множества, снабжённого некоторой структурой. Вопрос о том, когда структуры на двух множествах (или две структуры на одном множестве) являются "одинаковыми", имеет естественный ответ: когда существует взаимно однозначное соответствие между множествами, переводящее одну структуру в другую (и обратно). В случае топологических пространств такое соответствие называется гомеоморфизмом. О "деформациях без разрывов и склеиваний" специалисты не говорят. Такие слова появляются разве что в популяризаторской литературе, и суть гомеоморфизма они не отражают (они вообще непонятно что отражают, поскольку никаких формальных определений не предполагается).

[Mikhail_K]

g______d, спасибо за информацию!

Цитата:

Видите ли, ситуация совершенно другая. Первичным является определение топологического пространства как множества, снабжённого некоторой структурой. Вопрос о том, когда структуры на двух множествах (или две структуры на одном множестве) являются "одинаковыми", имеет естественный ответ: когда существует взаимно однозначное соответствие между множествами, переводящее одну структуру в другую (и обратно). В случае топологических пространств такое соответствие называется гомеоморфизмом. О "деформациях без разрывов и склеиваний" специалисты не говорят. Такие слова появляются разве что в популяризаторской литературе, и суть гомеоморфизма они не отражают (они вообще непонятно что отражают, поскольку никаких формальных определений не предполагается).

Это всё мне ясно. Однако любая научная работа, любой научный поиск вырастают в первую очередь из любопытства и интуитивных представлений, а не из того, что первично в строгом смысле. Мне так кажется.
Если смотреть с этой точки зрения, изотопия ничуть не менее интересна, чем гомеоморфизм.

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1041183 писал(а):

Если смотреть с этой точки зрения, изотопия ничуть не менее интересна, чем гомеоморфизм.

Да ради бога, занимайтесь, чем хотите. Не надо только к этому приплетать гнилую "философию". Я Вам только объяснил, откуда и почему берётся понятие гомеоморфизма.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1041183 писал(а):

Если смотреть с этой точки зрения, изотопия ничуть не менее интересна, чем гомеоморфизм.

Ваш вопрос -- это чему равна размерность $H^0(\mathrm{Homeo}(\mathbb R^n))$ (т. е. сколько у этой группы компонент связности). То же самое со вложениями узлов и т. п., будет только пространство каких-то других отображений.

Другими словами, это вопрос о конкретном топологическом инварианте конкретного пространства, т. е. слишком частный, чтобы претендовать на "главный вопрос всей топологии".

Тем не менее, он в некоторых случаях очень содержательный, и всякие экзотические структуры на $\mathbb R^4$ и сферы Милнора, частично, оттуда растут.

Посмотрите ещё книжку Daverman, Venema, "Embeddings in Manifolds", она, кажется, целиком про это.

[Oleg Zubelevich]

насколько я понял, вопрос ТС состоит в следующем: существует ли классификация диффеоморфизмов $\mathbb{R}^m$ по признаку изотопности. Если угодно, как описать фактор множество множества диффеоморфизмов по отношению эквивалентности "изотопия"? и как я понял, ничего внятного в ответ на этот вопрос, окромя поучительных банальностей, сказано не было. Просто странно немного, пафоса много, а на выходе пшик

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1041242 писал(а):

диффеоморфизмов $\mathbb{R}^m$

гомеоморфизмов.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1041194 писал(а):

Да ради бога, занимайтесь, чем хотите. Не надо только к этому приплетать гнилую "философию". Я Вам только объяснил, откуда и почему берётся понятие гомеоморфизма.

Не думайте, что такие элементарные вещи для меня нуждаются в объяснении)
Но всё равно - спасибо за объяснение)
g______d, я и не говорю, что это главный вопрос. Вот, благодаря ему я заинтересовался гомеотопиями и других пространств. Читаю сейчас - Матвеев, Фоменко "Алгоритмические и компьютерные методы в трёхмерной топологии" - там об этом говорится.

Так-то я специализируюсь в совсем другой области - вычислительная математика и функциональный анализ. Топология - это вроде хобби)

Oleg Zubelevich, на выходе вовсе не пшик. Я нашёл-таки в литературе утверждение, что гомеоморфизмов $\mathbb{R}^n$ на себя ровно два с точностью до изотопии. И да, меня интересуют в первую очередь гомеоморфизмы, хотя и информация о диффеоморфизмах тоже интересна.