2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение23.07.2015, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
Во многих книгах по топологии, когда хотят объяснить её предмет "на пальцах", упоминают что-то вроде "изучения свойств фигур, не меняющихся при деформациях - без разрывов и склеиваний".

Под "деформацией без разрывов и склеиваний" подразумевается гомеоморфизм. В какой-то мере так оно и есть, однако если мы будем искать математическое понятие, в точности соответствующее интуитивному понятию такой деформации, у гомеоморфизма как кандидата на эту роль мы найдём недостатки.

Например, окружность в $\mathbb{R}^3$ гомеоморфна любому узлу, но не превращается в него при непрерывной деформации.
Другой неприятный пример: открытый отрезок гомеоморфен прямой, а открытый шар - всему пространству. Интуитивно не кажется, что они совмещаются какой-то деформацией, во всяком случае "хорошей" и "конечной".

Другой кандидат - понятие топологической эквивалентности. Два множества $M,N\subset\mathbb{R}^n$ называются топологически эквивалентными (или "одинаково вложенными в $\mathbb{R}^n$"), если существует гомеоморфизм пространства $\mathbb{R}^n$ на себя, совмещающий множества $M$ и $N$.
У этого кандидата много плюсов. Все топологически эквивалентные множества гомеоморфны; при этом интервал и прямая (в пространстве любой размерности), открытый шар и пространство той же размерности топологически неэквивалентны. Кроме того, топологическая эквивалентность позволяет различать многие узлы, но, к сожалению, не все: например, узел-трилистник и его зеркальное отражение, очевидно, одинаково вложены в $\mathbb{R}^3$ (требуемый гомеоморфизм пространства на себя - зеркальное отражение этого пространства); однако, если мы изготовим эти узлы из верёвки, то не сможем без разрезания верёвки превратить один в другой.

Следующий кандидат - понятие изотопии. Это тоже усиление понятия гомеоморфизма: изотопные множества в $\mathbb{R}^n$ обязательно гомеоморфны, но не наоборот. Но, к сожалению, с этим понятием беда. В большинстве книг по топологии ему уделяется очень мало места; кроме того, в разных книгах изотопия определяется существенно по-разному. Есть книги, в которых изотопия определяется как топологическая эквивалентность (см. выше). Но не только так; существуют ещё по крайней мере два различных определения изотопии.

Изотопия-1. Два вложения $f:X\to\mathbb{R}^n$ и $g:X\to\mathbb{R}^n$ топологического пространства $X$ в $\mathbb{R}^n$ (под вложением понимается гомеоморфизм $X$ и некоторого подмножества $\mathbb{R}^n$) называются изотопными, если существует отображение $F:[0,1]\times X\to\mathbb{R}^n$, непрерывное по первому аргументу и такое, что $F(0,x)$ совпадает с $f(x)$, $F(1,x)$ совпадает с $g(x)$ для всех $x\in X$ и при любом фиксированном $t\in (0,1)$ отображение $F(t,\cdot)$ есть вложение $X$ в $\mathbb{R}^n$. Одновременно, изотопными (в $\mathbb{R}^n$) называются и сами образы $M=f(X)$ и $N=g(X)$.
Плюс данного определения в том, что оно позволяет различать интуитивно различные узлы, в том числе трилистник и его зеркальное отражение. Минус в том, что интервал и прямая, а также открытый шар и всё пространство, будут изотопными в смысле данного определения.

Однако, в литературе я нашёл также и иное определение изотопии, отличное от предыдущих двух, и, по-видимому, идеальное во всех смыслах.

Изотопия-2. Две фигуры $M,N\subset\mathbb{R}^n$ называются изотопными в $\mathbb{R}^n$, если существует отображение $F:[0,1]\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, непрерывное по первому аргументу и при любом его значении являющееся гомеоморфизмом пространства $\mathbb{R}^n$ на себя, и такое что $F(0,x)=x$ для всех $x\in\mathbb{R}^n$ и $F(1,M)=N$. Одновременно, гомеоморфизм $F(1,\cdot):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ называется изотопным тождественному.
Такая изотопия позволяет как различить интервал и прямую, открытый шар и пространство той же размерности, так и классифицировать узлы.

----------

К сожалению, всю информацию об изотопии мне приходится вытягивать понемногу из разных источников. Посоветуйте литературу, где бы такие вопросы подробно обсуждались!

Например: велик ли разрыв между топологической эквивалентностью и изотопией - когда они отличаются, когда не отличаются?

Почему такой разброс в определении изотопии в различных книгах (три существенно разных определения!) Является ли какое-нибудь из них в большей степени общепринятым?

Правда ли, что любые гомеоморфные множества, допускающие вложение в некоторое $\mathbb{R}^n$, в некотором пространстве $\mathbb{R}^N$ большей размерности обязательно будут изотопны (подобно тому как любой узел развязывается в $\mathbb{R}^4$)?

Что можно сказать о классификации двумерных поверхностей (с краем или хотя бы без края) с точностью до изотопии в $\mathbb{R}^3$? Очевидно, такая классификация должна быть гораздо сложнее стандартной классификации с точностью до гомеоморфизма. В частности, она должна включать в себя теорию узлов: каждому узлу соответствует связанный этим узлом тор, неизотопный торам, связанным другими узлами; а уж если рассмотреть ещё всевозможные сферы с ручками, у которых ручки завязываются и переплетаются сложным образом... Тем не менее, что-нибудь на эту тему обязательно где-то должно быть.

И другие подобные вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение23.07.2015, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
Первый вопрос, про разрыв между топологической эквивалентностью и изотопией (в варианте Изотопия-2), пожалуй, можно сформулировать так, без всяких фигур:

Сколько существует гомеоморфизмов $\mathbb{R}^3$ на себя, которые нельзя соединить изотопией (т.е. гомотопией, состоящей только из гомеоморфизмов)?
Правда ли, что таких гомеоморфизмов только два - тождественный и зеркальное отражение? Или их больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
Кое-что удалось найти в книге Хирша "Дифференциальная топология".
Оказывается, в случае, если фигура $M$ есть компактное подмногообразие $\mathbb{R}^n$, то для неё "изотопия-1" совпадает с "изотопией-2"; другими словами, любая изотопия отображения $M\to\mathbb{R}^n$ продолжается до изотопии отображений $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ (глава 8, теорема 1.3). Это верно также если объемлющее пространство не есть $\mathbb{R}^n$, а какое-нибудь другое многообразие.

Указанный в моём первом посте пример различия между "изотопией-1" и "изотопией-2" относится как раз к случаю, когда изотопируемая фигура некомпактна, а именно интервал/прямая или открытый шар/подпространство той же размерности.

----------

Упрекаю этот форум и его участников в отсутствии интереса к таким основополагающим вопросам. По-моему, эти вопросы должны неизбежно возникать у каждого изучающего топологию. Они естественнее, чем многие другие изложенные в учебниках по топологии вопросы!

----------

Однако остаётся вопрос, в наибольшей мере интересующий меня: как соотносится изотопия с топологической эквивалентностью? Другими словами, сколько существует гомеоморфизмов $\mathbb{R}^n$ на себя, которые попарно нельзя соединить непрерывной деформацией? На ум приходят только: тождественный гомеоморфизм и зеркальное отражение. Есть ли другие?
Разве это не интересный вопрос?

----------

Ещё один очень естественный вопрос: ответ практически точно утвердительный, но хотелось бы его найти в какой-нибудь литературе. Правда ли, что любое многообразие $M$ вкладывается в некоторое пространство $\mathbb{R}^N$ с достаточно большим $N$ единственным образом с точностью до изотопии? То есть любые два (гомеоморфных) вложения $f,g:M\to\mathbb{R}^N$ можно будет соединить непрерывной деформацией?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68334
Такое впечатление, что вы мучаетесь, не зная понятия гомотопии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
Munin, я знаю понятие гомотопии. Почему Вам кажется иначе?
Но мне интересно не оно, а понятие изотопии.
В отличие от изотопии, гомотопия может не состоять из гомеоморфизмов.

----------

Нашёл в книге Милнора "Топология с дифференциальной точки зрения", параграф 6, нечто очень похожее на ответ на мой вопрос.

Цитата:
Любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм $f$ евклидова пространства $R^m$ гладко изотопен тождественному.


Вот бы ещё то же самое для гомеоморфизмов, совсем хорошо было бы.

Кстати! На форуме эта тема обсуждалась когда-то, но так и заглохла.
topic31468.html

Ещё одна формулировка того же самого вопроса: какова группа гомеотопий (не гомотопий) пространства $\mathbb{R}^n$? Ну не может же такого быть, что для всяких многообразий эта группа известна, а для обычного пространства нет.

----------

-- 28.07.2015, 12:30 --

Отсюда: http://lib.repetitors.eu/encmathematics/?dic_tid=1840
Цитата:
доказана изотопность любых двух гомеоморфизмов сферы $S^n$ на себя, сохраняющих ориентацию

А про $\mathbb{R}^n$ ничего не сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
----------
Более точная терминология, чем в моём первом посте:
"Изотопия-1" - это то, что в литературе называется просто "изотопией"; а "изотопия-2" в литературе называется объемлющей, или накрывающей изотопией.

----------

Что-то я начал запутываться.
Предположим, у нас есть узел (гомеоморфный образ окружности в $\mathbb{R}^3$), и этот узел нетривиален.
Возьмём его и начнём затягивать.
В какой-то момент у нас бОльшая часть узла будет выглядеть как обычная окружность, а сам узелок будет сконцентрирован в маленькой области.
Возьмём да затянем его полностью, в точку. Получится окружность.
Чем это не изотопия (в смысле 1)? В какой момент здесь нарушена непрерывность по времени $t$, либо нарушен гомеоморфизм исходного узла? Фокус в том, что ближе к концу операции мы делаем узелок сколь угодно малым, в результате чего разные точки не склеиваются в одну, и гомеоморфизм вроде бы не нарушается.
Вместе с тем, конечно же, это не изотопия в смысле 2 (более строго, она не допускает накрывающей изотопии), потому что нетривиальный узел и окружность топологически не эквивалентны (по-разному вложены в $\mathbb{R}^3$).
Но, значит, утверждение выше из книги Хирша о том, что изотопия любого компактного подмногообразия допускает накрывающую, неверно? Или я его неправильно понял?
Помогите разобраться, кто в теме!

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
----------
Также мне была бы интересна литература по узлам, особенно диким узлам.
Там я могу надеяться найти ответ на вопрос, связанный с заданными выше: когда два узла топологически эквивалентны (т.е. существует гомеоморфизм $\mathbb{R}^3$ на себя, совмещающий их), но тем не менее неизотопны (в смысле накрывающей изотопии $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$). А ещё есть такие случаи, не сводящиеся к "правым" или "левым" формам? Может быть, такие случаи должны появиться именно при рассмотрении диких узлов?

Что касается теорем из книг по дифференциальной топологии, похоже, они относятся к гладкому случаю, а при "затягивании узла" возникает негладкость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5419
Mikhail_K в сообщении #1040980 писал(а):
Ещё один очень естественный вопрос: ответ практически точно утвердительный, но хотелось бы его найти в какой-нибудь литературе. Правда ли, что любое многообразие $M$ вкладывается в некоторое пространство $\mathbb{R}^N$ с достаточно большим $N$ единственным образом с точностью до изотопии? То есть любые два (гомеоморфных) вложения $f,g:M\to\mathbb{R}^N$ можно будет соединить непрерывной деформацией?


По-моему, это называется "Unknotting theorem".

-- Вт, 28 июл 2015 06:26:45 --

Mikhail_K в сообщении #1041008 писал(а):
А про $\mathbb{R}^n$ ничего не сказано.


Любой гомеоморфизм $\mathbb R^n$ на себя однозначно продолжается на одноточечную компактификацию. Например, потому что образ компакта компакт. Поэтому вопрос про сферу эквивалентен вопросу про $\mathbb R^n$.

Вот ещё частичный ответ: http://mathoverflow.net/questions/18527 ... omplements

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение28.07.2015, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16531
Москва
Mikhail_K в сообщении #1040980 писал(а):
Упрекаю этот форум и его участников в отсутствии интереса к таким основополагающим вопросам. По-моему, эти вопросы должны неизбежно возникать у каждого изучающего топологию. Они естественнее, чем многие другие изложенные в учебниках по топологии вопросы!
Вы о чём? Об изотопии? Ну, это весьма специальное понятие. И вопросы ваши об изотопиях весьма частные.

Mikhail_K в сообщении #1039858 писал(а):
Во многих книгах по топологии, когда хотят объяснить её предмет "на пальцах", упоминают что-то вроде "изучения свойств фигур, не меняющихся при деформациях - без разрывов и склеиваний".

Под "деформацией без разрывов и склеиваний" подразумевается гомеоморфизм. В какой-то мере так оно и есть, однако если мы будем искать математическое понятие, в точности соответствующее интуитивному понятию такой деформации, у гомеоморфизма как кандидата на эту роль мы найдём недостатки.
Видите ли, ситуация совершенно другая. Первичным является определение топологического пространства как множества, снабжённого некоторой структурой. Вопрос о том, когда структуры на двух множествах (или две структуры на одном множестве) являются "одинаковыми", имеет естественный ответ: когда существует взаимно однозначное соответствие между множествами, переводящее одну структуру в другую (и обратно). В случае топологических пространств такое соответствие называется гомеоморфизмом. О "деформациях без разрывов и склеиваний" специалисты не говорят. Такие слова появляются разве что в популяризаторской литературе, и суть гомеоморфизма они не отражают (они вообще непонятно что отражают, поскольку никаких формальных определений не предполагается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение29.07.2015, 06:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
g______d, спасибо за информацию!

Цитата:
Видите ли, ситуация совершенно другая. Первичным является определение топологического пространства как множества, снабжённого некоторой структурой. Вопрос о том, когда структуры на двух множествах (или две структуры на одном множестве) являются "одинаковыми", имеет естественный ответ: когда существует взаимно однозначное соответствие между множествами, переводящее одну структуру в другую (и обратно). В случае топологических пространств такое соответствие называется гомеоморфизмом. О "деформациях без разрывов и склеиваний" специалисты не говорят. Такие слова появляются разве что в популяризаторской литературе, и суть гомеоморфизма они не отражают (они вообще непонятно что отражают, поскольку никаких формальных определений не предполагается).


Это всё мне ясно. Однако любая научная работа, любой научный поиск вырастают в первую очередь из любопытства и интуитивных представлений, а не из того, что первично в строгом смысле. Мне так кажется.
Если смотреть с этой точки зрения, изотопия ничуть не менее интересна, чем гомеоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение29.07.2015, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16531
Москва
Mikhail_K в сообщении #1041183 писал(а):
Если смотреть с этой точки зрения, изотопия ничуть не менее интересна, чем гомеоморфизм.
Да ради бога, занимайтесь, чем хотите. Не надо только к этому приплетать гнилую "философию". Я Вам только объяснил, откуда и почему берётся понятие гомеоморфизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение29.07.2015, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5419
Mikhail_K в сообщении #1041183 писал(а):
Если смотреть с этой точки зрения, изотопия ничуть не менее интересна, чем гомеоморфизм.


Ваш вопрос -- это чему равна размерность $H^0(\mathrm{Homeo}(\mathbb R^n))$ (т. е. сколько у этой группы компонент связности). То же самое со вложениями узлов и т. п., будет только пространство каких-то других отображений.

Другими словами, это вопрос о конкретном топологическом инварианте конкретного пространства, т. е. слишком частный, чтобы претендовать на "главный вопрос всей топологии".

Тем не менее, он в некоторых случаях очень содержательный, и всякие экзотические структуры на $\mathbb R^4$ и сферы Милнора, частично, оттуда растут.

Посмотрите ещё книжку Daverman, Venema, "Embeddings in Manifolds", она, кажется, целиком про это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение29.07.2015, 13:58 


10/02/11
6786
насколько я понял, вопрос ТС состоит в следующем: существует ли классификация диффеоморфизмов $\mathbb{R}^m$ по признаку изотопности. Если угодно, как описать фактор множество множества диффеоморфизмов по отношению эквивалентности "изотопия"? и как я понял, ничего внятного в ответ на этот вопрос, окромя поучительных банальностей, сказано не было. Просто странно немного, пафоса много, а на выходе пшик

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение29.07.2015, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5419
Oleg Zubelevich в сообщении #1041242 писал(а):
диффеоморфизмов $\mathbb{R}^m$


гомеоморфизмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об изотопии и топологической эквивалентности
Сообщение29.07.2015, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3121
Someone в сообщении #1041194 писал(а):
Да ради бога, занимайтесь, чем хотите. Не надо только к этому приплетать гнилую "философию". Я Вам только объяснил, откуда и почему берётся понятие гомеоморфизма.

Не думайте, что такие элементарные вещи для меня нуждаются в объяснении)
Но всё равно - спасибо за объяснение)
g______d, я и не говорю, что это главный вопрос. Вот, благодаря ему я заинтересовался гомеотопиями и других пространств. Читаю сейчас - Матвеев, Фоменко "Алгоритмические и компьютерные методы в трёхмерной топологии" - там об этом говорится.

Так-то я специализируюсь в совсем другой области - вычислительная математика и функциональный анализ. Топология - это вроде хобби)

Oleg Zubelevich, на выходе вовсе не пшик. Я нашёл-таки в литературе утверждение, что гомеоморфизмов $\mathbb{R}^n$ на себя ровно два с точностью до изотопии. И да, меня интересуют в первую очередь гомеоморфизмы, хотя и информация о диффеоморфизмах тоже интересна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group