Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству

[kp9r4d]

У меня вопрос по доказательству в статье в википедии можно ли вместо того чтобы пользоваться теоремой о приближении абсолютно интегрируемых функций, функциями с компактным носителем:

Цитата:

Using the density of continuous functions of compact support in $L_1(\mathbb{R}^n)$, one can find such a function g satisfying

почему бы сразу не воспользоваться теоремой Лузина и тогда доказательство заметно упростится учитывая, что два из трёх слагаемых, которые оцениваются в статье (третья формула сверху) будут тождественно равны нулю?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1041074 писал(а):

два из трёх слагаемых, которые оцениваются в статье (третья формула сверху) будут тождественно равны нулю?

Почему?

[kp9r4d]

g______d
Мы можем в качестве $g$ взять ограничение функции $f$ на множество $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$, где $m(E_\varepsilon)<\varepsilon$, $g$ тождественна равна $f$ на множестве $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$ и $g$ непрерывна. Поэтому, на множестве $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$ слагаемое $f(x)-g(x)$ очевидно будет равно нулю, ровно как и $\int f(x) - g(x) dx$. Разве нет?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1041126 писал(а):

на множестве $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$

Я просто без этого уточнения прочитал, так-то да.

[kp9r4d]

А почему так нельзя делать? (С последующим предельным переходом $\varepsilon \to 0$?)

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1041170 писал(а):

А почему так нельзя делать? (С последующим предельным переходом $\varepsilon \to 0$?)

Ну можно, но нужно тогда ещё срезать функцию по вертикали и применить вариант теоремы Лузина для ограниченных измеримых функций, чтобы аппроксимирующая непрерывная функция была ограничена той же константой. Ну или ещё как-то оценить интеграл по множеству меры $\varepsilon$. Просто так по абсолютной непрерывности интеграла Лебега не получится, т. к. функция зависит от $\varepsilon$. Попробуйте написать доказательство полностью, может быть, больного выигрыша по объёму и не будет.