А почему так нельзя делать? (С последующим предельным переходом

?)
Ну можно, но нужно тогда ещё срезать функцию по вертикали и применить вариант теоремы Лузина для ограниченных измеримых функций, чтобы аппроксимирующая непрерывная функция была ограничена той же константой. Ну или ещё как-то оценить интеграл по множеству меры

. Просто так по абсолютной непрерывности интеграла Лебега не получится, т. к. функция зависит от

. Попробуйте написать доказательство полностью, может быть, больного выигрыша по объёму и не будет.