2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству
Сообщение28.07.2015, 17:16 
Аватара пользователя
У меня вопрос по доказательству в статье в википедии можно ли вместо того чтобы пользоваться теоремой о приближении абсолютно интегрируемых функций, функциями с компактным носителем:
Цитата:
Using the density of continuous functions of compact support in $L_1(\mathbb{R}^n)$, one can find such a function g satisfying

почему бы сразу не воспользоваться теоремой Лузина и тогда доказательство заметно упростится учитывая, что два из трёх слагаемых, которые оцениваются в статье (третья формула сверху) будут тождественно равны нулю?

 
 
 
 Re: Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству
Сообщение28.07.2015, 17:25 
Аватара пользователя
kp9r4d в сообщении #1041074 писал(а):
два из трёх слагаемых, которые оцениваются в статье (третья формула сверху) будут тождественно равны нулю?


Почему?

 
 
 
 Re: Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству
Сообщение28.07.2015, 20:14 
Аватара пользователя
g______d
Мы можем в качестве $g$ взять ограничение функции $f$ на множество $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$, где $m(E_\varepsilon)<\varepsilon$, $g$ тождественна равна $f$ на множестве $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$ и $g$ непрерывна. Поэтому, на множестве $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$ слагаемое $f(x)-g(x)$ очевидно будет равно нулю, ровно как и $\int f(x) - g(x) dx$. Разве нет?

 
 
 
 Re: Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству
Сообщение28.07.2015, 20:41 
Аватара пользователя
kp9r4d в сообщении #1041126 писал(а):
на множестве $\mathbb{R}^d \setminus E_\varepsilon$


Я просто без этого уточнения прочитал, так-то да.

 
 
 
 Re: Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству
Сообщение29.07.2015, 01:01 
Аватара пользователя
А почему так нельзя делать? (С последующим предельным переходом $\varepsilon \to 0$?)

 
 
 
 Re: Lebesgue differentiation theorem, вопросы по доказательству
Сообщение29.07.2015, 02:22 
Аватара пользователя
kp9r4d в сообщении #1041170 писал(а):
А почему так нельзя делать? (С последующим предельным переходом $\varepsilon \to 0$?)


Ну можно, но нужно тогда ещё срезать функцию по вертикали и применить вариант теоремы Лузина для ограниченных измеримых функций, чтобы аппроксимирующая непрерывная функция была ограничена той же константой. Ну или ещё как-то оценить интеграл по множеству меры $\varepsilon$. Просто так по абсолютной непрерывности интеграла Лебега не получится, т. к. функция зависит от $\varepsilon$. Попробуйте написать доказательство полностью, может быть, больного выигрыша по объёму и не будет.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group