Неравенство с целыми частями

[Andrey A]

Пусть $a,b$ - произвольная пара взаимно простых натуральных аргументов $(a>b)$. Уравнение $aX+bY=Z^2$ разрешимо в целых числах для любого $Z$, но существует ограничение снизу, если принять $X,Y,Z\in \mathbb{N}$ (далее всё в натуральных):

$$aX+bY=Z_{\min}^2$$

Каково $Z_{\min}$? Вроде бы не сложно, но что-то уперся. Можно принять за аргументы пару $c,d$ - решение уравнения $ac-bd=1$ $(a>d>c)$, тогда существует $K=dX+cY$ такое, что $X=cZ_{\min}^2-bK;Y=aK-dZ_{\min}^2$, и выполняется неравенство:

$$\frac{a}{d}>\frac{Z_{\min}^2}{K}>\frac{b}{c}$$

или

$$\sqrt{\frac{aK}{d}}>Z_{\min}>\sqrt{\frac{bK}{c}}$$

Средний член неравенства - целое положительное число, значит целые части крайних членов отличны, что оказывается и достаточным условием. Избавляясь от переменной $Z_{\min}$, ставим вопрос иначе: для произвольных $ac-bd=1$ найти наименьшее $K$, для которого

$$\left[ \sqrt{\frac{aK_{\min}}{d}}\right] \neq \left[ \sqrt{\frac{bK_{\min}}{c}}\right]$$

Может это уже решено? Буду признателен за ссылки или идеи.

[ex-math]

А есть ли уверенность, что для $Z$, следующих за минимальным, $X$ и $Y$ тоже будут натуральными?

-- 26.07.2015, 22:30 --

Легко получается оценка $Z_{\min}\leqslant\sqrt {ab}+1$.

[Andrey A]

ex-math в сообщении #1040705 писал(а):

Легко получается оценка $Z_{\min}<\sqrt {ab} $.

Это да.

ex-math в сообщении #1040705 писал(а):

А есть ли уверенность, что для $Z$, следующих за минимальным, $X$ и $Y$ тоже будут натуральными?

Не для всех. И соответственно, неравенство с целыми частями выполняется не для всех граничных $K$.

P.S. или так: $Z_{\min}\leq \left \lceil \sqrt {ab} \right \rceil$

[Null]

$Z_{\min}\leq \left \lceil \sqrt {ab} \right \rceil$ - неправда для $a=2, b=3$

[Andrey A]

Null в сообщении #1040771 писал(а):

$Z_{\min}\leq \left \lceil \sqrt {ab} \right \rceil$ - неправда для $a=2, b=3$

$\left \lceil \sqrt 6 \ \right \rceil=3;\ 2\cdot 3+3\cdot 1=3^2$ Разве нет?

-- 27.07.2015, 13:00 --

Кое-что нужно добавить.
1) Для решений с натуральными $X,Y$ неравенство $\left[ \sqrt{\frac{aK{\min}}{d}}\right] \neq \left[ \sqrt{\frac{bK{\min}}{c}}\right]$ выполняется строго. Но когда под радикалом левой части образуется целый квадрат оно выполняется также и для решений с нулевым $X$ или $Y$. Если строить таблицу из двух столбцов с возрастающем $K$, то по мере возникновения целых значений в левом столбце удобно трактовать их как дробные с дробной частью $0,9999...$, то есть $\sqrt{49}=6,9999...$ Тогда достигается обратное соответствие.

2) Неравенство $\frac{a}{d}>\frac{Z^2{\min}}{K}>\frac{b}{c}$ можно переписать и так:

$$\frac{cZ_{\min}^2}{b}>K>\frac{dZ_{\min}^2}{a}$$

Средний член - целое положительное число, и по той же схеме

$$\left[ \frac{cZ_{\min}^2}{b}\right] \neq \left[ \frac{dZ_{\min}^2}{a}\right]$$

с оговоркой на счет целых значений в левой части. Подобрать $Z_{\min}$ таким способом удается гораздо быстрее, но на решение это все-таки пока не тянет.

[ex-math]

Надо понять, какой дробью разделяются дроби $c/b$ и $d/a$. Так, чтобы ее знаменатель был поменьше. Может, какие-то свойства дробей Фарея могут помочь?

[Andrey A]

ex-math в сообщении #1040806 писал(а):

Надо понять, какой дробью разделяются дроби $c/b$ и $d/a$. Так, чтобы ее знаменатель был поменьше. Может, какие-то свойства дробей Фарея могут помочь?

$\frac{c}{b};\frac{d}{a}$ По свойству подходящих дробей (это они и есть) любая несократимая дробь, расположенная между ними есть тоже подходящая дробь, но с бОльшим номером, значит и с бОльшим знаменателем. Для каждой пары дробей из ряда Фаррея эти правила также верны, если же брать тройку дробей, то они не совпадут - последовательность подходящих знакопеременная ($\pm 1$), а в ряду Фаррея всегда единица. Старшие подходящие - все вида $\frac{dx+cy}{ax+by}$ (т.е. медианты), в том числе и $\frac{K}{Z^2}$. Чем бы это помогло?

[ex-math]

Естественно, знаменатель будет больше $a$ и $b$. Я имел в виду возможно меньший знаменатель дроби, которая будет разделять указанные дроби. Хотя это не гарантирует минимальности $Z$. Скажем, если наши дроби разделяются дробями со знаменателями $17$ и $18$, то первая дает $Z=17$, а вторая $Z=6$. Но даже и этот знаменатель, по-видимому, не найти иначе как прямым вычислением.

[Andrey A]

ex-math в сообщении #1040843 писал(а):

... возможно меньший знаменатель дроби, которая будет разделять указанные дроби

Я боюсь, не совсем понимаю, что имеется в виду - расстояние между $\frac{c}{b};\frac{d}{a}$ (оно $\frac{1}{ab}$) или или некая рациональная точка, расположенная между ними на числовой оси (которая "разделяет"). Но прямого вычисления при таком подходе - да, не избежать. Отчего и всплыло неравенство с целой частью.

[ex-math]

Да, именно рациональная точка между нашими дробями. Ведь при умножении на $Z^2$ эти дроби должны быть разделены целым числом. Отсюда и связь $Z $ со знаменателем этой рациональной точки (правда, непрямая). Собственно, это и есть Ваши неравенства с немного другой точки зрения, поэтому и в них тоже вряд ли можно что-то предложить, кроме непосредственного вычисления.

[Andrey A]

ex-math в сообщении #1040906 писал(а):

Ведь при умножении на $Z^2$ эти дроби должны быть разделены целым числом. Отсюда и связь $Z $ со знаменателем этой рациональной точки (правда, непрямая).

Не прямая. Квадратичная или обратно квадратичная. Вроде как меняем масштаб шкалы, причем дискретно, пока некое целое деление не окажется в заданном интервале. Дальше (при большом $Z$ или $K$) шкала становится тесной, и какое-нибудь да попадает "в глазок", но нужно в начале. Хм, а выглядит не страшно.

[ex-math]

Неприятности сидят в квадрате. Если бы квадрата не было, то ответ очевиден -- $Z_{\min}=a+b $. А так получается, что "изменив масштаб" в $17$ раз, получим большее значение $Z $, чем при увеличении в $18$ раз.

[Andrey A]

Ну да. Именно неприятности в квадрате Спасибо.

[Andrey A]

ex-math в сообщении #1040906 писал(а):

... вряд ли можно что-то предложить, кроме непосредственного вычисления.

Хорошо. Последняя попытка. Начнем с примера: $a=139, b=80$. Находим $c,d$: $139\cdot 19-80\cdot 33=1.\ c=19, d=33$. Наименьшее решение $Z_{\min}=43$ при $X=11, Y=4, K=439$.
$139\cdot 11+80\cdot 4=43^2$. Выпишем дроби $\frac{b}{c}=4,4,1,2,1;\ \frac{a}{d}=4,4,1,2,1,1;\ \frac{Z^2}{K}=4,4,1,2,1,1,2,1,3$. Первые две нам известны, и задача состоит в нахождении нужного остатка $2,1,3=\frac{11}{4}=\frac{X}{Y}$ (считаем пока $X,Y$ вз. простыми). Из предыдущего $\frac{X}{Y}=-\frac{bK-cZ^2}{aK-dZ^2}$. Обозначим функцию от двух вещественных переменных $f_{(K,Z)}= -\frac{bK-cZ^2}{aK-dZ^2}\ (K,Z\geq 0)$. Любые ее положительные значения находятся рядом с рациональными точками искомых решений с целыми координатами. Теперь выхожу за пределы компетенции, если что - поправте.
Функция, на сколько понимаю, непрерывная с разрывом по линии $aK=dZ^2$ и нулем по линии $bK=cZ^2$ (можно рассматривать и $1/f_{(K,Z)}$ в силу симметрии). Тогда в каждой точке существуют "касательные плоскости", в том числе параллельные плоскости координат (пики). Определена $f'_{(K,Z)}$? Если нет - можно не продолжать. Посмотрел график $f_{(K,Z)}=-\frac{80K-19Z^2}{139K-33Z^2}$. Слегка напоминает горный хребет с вершинами, некоторые из которых превышают нулевые облака. Впрочем, нулевое значение производной мало бы что дало, поскольку большинство "пиков" остается в отрицательной области значения $f_{(K,Z)}$. Но можно авантюрно предположить, что наиболее высоким вершинам соответствуют наиболее резкие подъемы и спуски, т.е. "пики" первой производной. Может, вторая производная о чем-то расскажет? Если она вообще не постоянная.

(Оффтоп)

'