2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с целыми частями
Сообщение26.07.2015, 18:22 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Пусть $a,b$ - произвольная пара взаимно простых натуральных аргументов $(a>b)$. Уравнение $aX+bY=Z^2$ разрешимо в целых числах для любого $Z$, но существует ограничение снизу, если принять $X,Y,Z\in \mathbb{N}$ (далее всё в натуральных):
$$aX+bY=Z_{\min}^2$$
Каково $Z_{\min}$? Вроде бы не сложно, но что-то уперся. Можно принять за аргументы пару $c,d$ - решение уравнения $ac-bd=1$ $(a>d>c)$, тогда существует $K=dX+cY$ такое, что $X=cZ_{\min}^2-bK;Y=aK-dZ_{\min}^2$, и выполняется неравенство:
$$\frac{a}{d}>\frac{Z_{\min}^2}{K}>\frac{b}{c}$$
или
$$\sqrt{\frac{aK}{d}}>Z_{\min}>\sqrt{\frac{bK}{c}}$$ Средний член неравенства - целое положительное число, значит целые части крайних членов отличны, что оказывается и достаточным условием. Избавляясь от переменной $Z_{\min}$, ставим вопрос иначе: для произвольных $ac-bd=1$ найти наименьшее $K$, для которого $$\left[ \sqrt{\frac{aK_{\min}}{d}}\right] \neq \left[ \sqrt{\frac{bK_{\min}}{c}}\right]$$
Может это уже решено? Буду признателен за ссылки или идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение26.07.2015, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
А есть ли уверенность, что для $Z$, следующих за минимальным, $X$ и $Y$ тоже будут натуральными?

-- 26.07.2015, 22:30 --

Легко получается оценка $Z_{\min}\leqslant\sqrt {ab}+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение26.07.2015, 22:50 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
ex-math в сообщении #1040705 писал(а):
Легко получается оценка $Z_{\min}<\sqrt {ab} $.

Это да.
ex-math в сообщении #1040705 писал(а):
А есть ли уверенность, что для $Z$, следующих за минимальным, $X$ и $Y$ тоже будут натуральными?

Не для всех. И соответственно, неравенство с целыми частями выполняется не для всех граничных $K$.

P.S. или так: $Z_{\min}\leq \left \lceil \sqrt {ab} \right \rceil$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 10:47 
Заслуженный участник


12/08/10
1017
$Z_{\min}\leq \left \lceil \sqrt {ab} \right \rceil$ - неправда для $a=2, b=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 11:21 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Null в сообщении #1040771 писал(а):
$Z_{\min}\leq \left \lceil \sqrt {ab} \right \rceil$ - неправда для $a=2, b=3$

$\left \lceil \sqrt 6 \ \right \rceil=3;\ 2\cdot 3+3\cdot 1=3^2$ Разве нет?

-- 27.07.2015, 13:00 --

Кое-что нужно добавить.
1) Для решений с натуральными $X,Y$ неравенство $\left[ \sqrt{\frac{aK{\min}}{d}}\right] \neq \left[ \sqrt{\frac{bK{\min}}{c}}\right]$ выполняется строго. Но когда под радикалом левой части образуется целый квадрат оно выполняется также и для решений с нулевым $X$ или $Y$. Если строить таблицу из двух столбцов с возрастающем $K$, то по мере возникновения целых значений в левом столбце удобно трактовать их как дробные с дробной частью $0,9999...$, то есть $\sqrt{49}=6,9999...$ Тогда достигается обратное соответствие.

2) Неравенство $\frac{a}{d}>\frac{Z^2{\min}}{K}>\frac{b}{c}$ можно переписать и так:
$$\frac{cZ_{\min}^2}{b}>K>\frac{dZ_{\min}^2}{a}$$ Средний член - целое положительное число, и по той же схеме $$\left[ \frac{cZ_{\min}^2}{b}\right] \neq \left[ \frac{dZ_{\min}^2}{a}\right]$$ с оговоркой на счет целых значений в левой части. Подобрать $Z_{\min}$ таким способом удается гораздо быстрее, но на решение это все-таки пока не тянет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Надо понять, какой дробью разделяются дроби $c/b$ и $d/a$. Так, чтобы ее знаменатель был поменьше. Может, какие-то свойства дробей Фарея могут помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 16:18 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
ex-math в сообщении #1040806 писал(а):
Надо понять, какой дробью разделяются дроби $c/b$ и $d/a$. Так, чтобы ее знаменатель был поменьше. Может, какие-то свойства дробей Фарея могут помочь?

$\frac{c}{b};\frac{d}{a}$ По свойству подходящих дробей (это они и есть) любая несократимая дробь, расположенная между ними есть тоже подходящая дробь, но с бОльшим номером, значит и с бОльшим знаменателем. Для каждой пары дробей из ряда Фаррея эти правила также верны, если же брать тройку дробей, то они не совпадут - последовательность подходящих знакопеременная ($\pm 1$), а в ряду Фаррея всегда единица. Старшие подходящие - все вида $\frac{dx+cy}{ax+by}$ (т.е. медианты), в том числе и $\frac{K}{Z^2}$. Чем бы это помогло?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Естественно, знаменатель будет больше $a$ и $b$. Я имел в виду возможно меньший знаменатель дроби, которая будет разделять указанные дроби. Хотя это не гарантирует минимальности $Z$. Скажем, если наши дроби разделяются дробями со знаменателями $17$ и $18$, то первая дает $Z=17$, а вторая $Z=6$. Но даже и этот знаменатель, по-видимому, не найти иначе как прямым вычислением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 17:45 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
ex-math в сообщении #1040843 писал(а):
... возможно меньший знаменатель дроби, которая будет разделять указанные дроби

Я боюсь, не совсем понимаю, что имеется в виду - расстояние между $\frac{c}{b};\frac{d}{a}$ (оно $\frac{1}{ab}$) или или некая рациональная точка, расположенная между ними на числовой оси (которая "разделяет"). Но прямого вычисления при таком подходе - да, не избежать. Отчего и всплыло неравенство с целой частью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение27.07.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Да, именно рациональная точка между нашими дробями. Ведь при умножении на $Z^2$ эти дроби должны быть разделены целым числом. Отсюда и связь $Z $ со знаменателем этой рациональной точки (правда, непрямая). Собственно, это и есть Ваши неравенства с немного другой точки зрения, поэтому и в них тоже вряд ли можно что-то предложить, кроме непосредственного вычисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение28.07.2015, 09:09 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
ex-math в сообщении #1040906 писал(а):
Ведь при умножении на $Z^2$ эти дроби должны быть разделены целым числом. Отсюда и связь $Z $ со знаменателем этой рациональной точки (правда, непрямая).

Не прямая. Квадратичная или обратно квадратичная. Вроде как меняем масштаб шкалы, причем дискретно, пока некое целое деление не окажется в заданном интервале. Дальше (при большом $Z$ или $K$) шкала становится тесной, и какое-нибудь да попадает "в глазок", но нужно в начале. Хм, а выглядит не страшно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение28.07.2015, 09:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Неприятности сидят в квадрате. Если бы квадрата не было, то ответ очевиден -- $Z_{\min}=a+b $. А так получается, что "изменив масштаб" в $17$ раз, получим большее значение $Z $, чем при увеличении в $18$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение28.07.2015, 09:37 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Ну да. Именно неприятности в квадрате 8-) Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с целыми частями
Сообщение30.07.2015, 16:04 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
ex-math в сообщении #1040906 писал(а):
... вряд ли можно что-то предложить, кроме непосредственного вычисления.

Хорошо. Последняя попытка. Начнем с примера: $a=139, b=80$. Находим $c,d$: $139\cdot 19-80\cdot 33=1.\ c=19, d=33$. Наименьшее решение $Z_{\min}=43$ при $X=11, Y=4, K=439$.
$139\cdot 11+80\cdot 4=43^2$. Выпишем дроби $\frac{b}{c}=4,4,1,2,1;\ \frac{a}{d}=4,4,1,2,1,1;\ \frac{Z^2}{K}=4,4,1,2,1,1,2,1,3$. Первые две нам известны, и задача состоит в нахождении нужного остатка $2,1,3=\frac{11}{4}=\frac{X}{Y}$ (считаем пока $X,Y$ вз. простыми). Из предыдущего $\frac{X}{Y}=-\frac{bK-cZ^2}{aK-dZ^2}$. Обозначим функцию от двух вещественных переменных $f_{(K,Z)}= -\frac{bK-cZ^2}{aK-dZ^2}\ (K,Z\geq 0)$. Любые ее положительные значения находятся рядом с рациональными точками искомых решений с целыми координатами. Теперь выхожу за пределы компетенции, если что - поправте.
Функция, на сколько понимаю, непрерывная с разрывом по линии $aK=dZ^2$ и нулем по линии $bK=cZ^2$ (можно рассматривать и $1/f_{(K,Z)}$ в силу симметрии). Тогда в каждой точке существуют "касательные плоскости", в том числе параллельные плоскости координат (пики). Определена $f'_{(K,Z)}$? Если нет - можно не продолжать. Посмотрел график $f_{(K,Z)}=-\frac{80K-19Z^2}{139K-33Z^2}$. Слегка напоминает горный хребет с вершинами, некоторые из которых превышают нулевые облака. Впрочем, нулевое значение производной мало бы что дало, поскольку большинство "пиков" остается в отрицательной области значения $f_{(K,Z)}$. Но можно авантюрно предположить, что наиболее высоким вершинам соответствуют наиболее резкие подъемы и спуски, т.е. "пики" первой производной. Может, вторая производная о чем-то расскажет? Если она вообще не постоянная.

(Оффтоп)

' :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group