условный экстремум

[kerz-3-06]

Дана функция $f(x,y)=\sqrt{x}+y$ и условие связи $x+\cos y=0$ , $\frac {3\pi} {2} \geq y \geq \frac {\pi} {2}$.

При $x\ne 0$ методом Лагранжа выяснил, что в точках $(-2+\sqrt{5}, \arccos {(2-\sqrt{5}}))$ и $(-2+\sqrt{5}, -\arccos {(2-\sqrt{5}}))$ достигается минимум.

А как проверить наличие экстремума в точках, в которых $x=0$ ?

Добавлено спустя 2 часа 48 минут 32 секунды:

И нормально ли, что у меня получилось два минимума, между которыми нет максимума?

[kerz-3-06]

Может быть можно воспльзоваться как-нибудь теоремой Вейерштрасса?

[RIP]

Я бы выразил $x$ через $y$, в результате получается функция одного переменного, на отрезке. Так что наличие 2 минимумов при отсутствии максимума более чем подозрительно (мне считать и проверять лень, если честно).
Или задачу обязательно надо решить методом множителей Лагранжа?

[kerz-3-06]

Тут не важно, как мы будет решать, действительно получается два минимума.

Вопрос главный в том, что делать с точками, где функция не дифференцируема?!

[RIP]

kerz-3-06 писал(а):

Тут не важно, как мы будет решать, действительно получается два минимума.

Вы, когда нули производной находили, случаем в квадрат не возводили?

kerz-3-06 писал(а):

Вопрос главный в том, что делать с точками, где функция не дифференцируема?!

Если делать, как я предлагал, то даже в школе проходят, как исследовать функцию одного переменного на возрастание/убывание...

[kerz-3-06]

RIP писал(а):

Вы, когда нули производной находили, случаем в квадрат не возводили?

Я нашел точку, которая может быть корнями производной(есстественно, возводя в квадрат). Там получается, что у этой точки $\sin y= 2-\sqrt {5}$, а этому удовлетворяет ДВЕ точки из нашего отрезка.

RIP писал(а):

kerz-3-06 писал(а):

Вопрос главный в том, что делать с точками, где функция не дифференцируема?!

Если делать, как я предлагал, то даже в школе проходят, как исследовать функцию одного переменного на возрастание/убывание...

Да, но тут функция не дифференциируема. А если просто рассматривать соседнии точки, то нам это ничего не дает, так как наша функция представляет собой сумму убывающей и возрастающей.

[RIP]

kerz-3-06 писал(а):

Там получается, что у этой точки $Sin y= 2-\sqrt {5}$, а этому удовлетворяет ДВЕ точки из нашего отрезка.

А Вас не смущает тот факт, что на данном отрезке $\sin y$ строго убывает?

kerz-3-06 писал(а):

Да, но тут функция не дифференциируема.

Да, но вспомните школу, построение графиков функций. Неужели там рассматриваются только функции, которые везде дифференцируемы?

Добавлено спустя 8 минут 57 секунд:

Тьфу ты, даже не обратил внимание. Разве Ваша вторая точка лежит в рассматриваемом множестве?

[kerz-3-06]

Лежит, две точки это $\arccos {(2-\sqrt{5})}$ и $2\pi-\arccos {(2-\sqrt{5}}$. Но найдя промежутки, где производная положительно, я выяснил,что минимум все-таки один.

Но все равно остается вопрос с точками $y=\frac {\pi} {2}$ и $y=\frac {3\pi} {2}$. В окрестности этих точек разве можно сказать о значениях функции?

[RIP]

kerz-3-06 писал(а):

В окрестности этих точек разве можно сказать о значениях функции?

Конечно! В окрестностях (проколотых) производная сохраняет знак, а в самих точках функция непрерывна. Вы нарисуйте график. Тут нечто похожее на $\sqrt x$ вблизи нуля возникает.
А то, что в точке $y=\frac\pi2$ минимум (глобальный), вообще невооружённым глазом видно

Добавлено спустя 7 минут 30 секунд:

kerz-3-06 писал(а):

...минимум все-таки один.

И не просто один, а ещё и максимум.

[kerz-3-06]

Да, спасибо