2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 условный экстремум
Сообщение02.03.2008, 19:32 
Дана функция $f(x,y)=\sqrt{x}+y$ и условие связи $x+\cos y=0$ , $\frac {3\pi} {2} \geq y \geq \frac {\pi} {2}$.

При $x\ne 0$ методом Лагранжа выяснил, что в точках $(-2+\sqrt{5}, \arccos {(2-\sqrt{5}}))$ и $(-2+\sqrt{5}, -\arccos {(2-\sqrt{5}}))$ достигается минимум.

А как проверить наличие экстремума в точках, в которых $x=0$ ?

Добавлено спустя 2 часа 48 минут 32 секунды:

И нормально ли, что у меня получилось два минимума, между которыми нет максимума?

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 21:53 
Может быть можно воспльзоваться как-нибудь теоремой Вейерштрасса?

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 22:02 
Аватара пользователя
Я бы выразил $x$ через $y$, в результате получается функция одного переменного, на отрезке. Так что наличие 2 минимумов при отсутствии максимума более чем подозрительно (мне считать и проверять лень, если честно).
Или задачу обязательно надо решить методом множителей Лагранжа?

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 22:16 
Тут не важно, как мы будет решать, действительно получается два минимума.

Вопрос главный в том, что делать с точками, где функция не дифференцируема?!

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 22:24 
Аватара пользователя
kerz-3-06 писал(а):
Тут не важно, как мы будет решать, действительно получается два минимума.

Вы, когда нули производной находили, случаем в квадрат не возводили? :wink:

kerz-3-06 писал(а):
Вопрос главный в том, что делать с точками, где функция не дифференцируема?!

Если делать, как я предлагал, то даже в школе проходят, как исследовать функцию одного переменного на возрастание/убывание...

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 22:44 
RIP писал(а):
Вы, когда нули производной находили, случаем в квадрат не возводили? :wink:

Я нашел точку, которая может быть корнями производной(есстественно, возводя в квадрат). Там получается, что у этой точки $\sin y= 2-\sqrt {5}$, а этому удовлетворяет ДВЕ точки из нашего отрезка.

RIP писал(а):
kerz-3-06 писал(а):
Вопрос главный в том, что делать с точками, где функция не дифференцируема?!

Если делать, как я предлагал, то даже в школе проходят, как исследовать функцию одного переменного на возрастание/убывание...


Да, но тут функция не дифференциируема. А если просто рассматривать соседнии точки, то нам это ничего не дает, так как наша функция представляет собой сумму убывающей и возрастающей.

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 23:02 
Аватара пользователя
kerz-3-06 писал(а):
Там получается, что у этой точки $Sin y= 2-\sqrt {5}$, а этому удовлетворяет ДВЕ точки из нашего отрезка.

А Вас не смущает тот факт, что на данном отрезке $\sin y$ строго убывает?

kerz-3-06 писал(а):
Да, но тут функция не дифференциируема.

Да, но вспомните школу, построение графиков функций. Неужели там рассматриваются только функции, которые везде дифференцируемы?

Добавлено спустя 8 минут 57 секунд:

Тьфу ты, даже не обратил внимание. Разве Ваша вторая точка лежит в рассматриваемом множестве? :lol:

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 23:10 
Лежит, две точки это $\arccos {(2-\sqrt{5})}$ и $2\pi-\arccos {(2-\sqrt{5}}$. Но найдя промежутки, где производная положительно, я выяснил,что минимум все-таки один.

Но все равно остается вопрос с точками $y=\frac {\pi} {2}$ и $y=\frac {3\pi} {2}$. В окрестности этих точек разве можно сказать о значениях функции?

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 23:23 
Аватара пользователя
kerz-3-06 писал(а):
В окрестности этих точек разве можно сказать о значениях функции?

Конечно! В окрестностях (проколотых) производная сохраняет знак, а в самих точках функция непрерывна. Вы нарисуйте график. Тут нечто похожее на $\sqrt x$ вблизи нуля возникает.
А то, что в точке $y=\frac\pi2$ минимум (глобальный), вообще невооружённым глазом видно

Добавлено спустя 7 минут 30 секунд:

kerz-3-06 писал(а):
...минимум все-таки один.

И не просто один, а ещё и максимум. :lol:

 
 
 
 
Сообщение02.03.2008, 23:29 
Да, спасибо

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group