2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Хорошие натуральные числа
Сообщение21.07.2015, 20:37 


04/06/13
203
Здравствуйте! Пытаюсь разобраться с задачей, пока что не все выходит.

Натуральное число $k$ назовем хорошим, если найдется такое натуральное число $n$, что $k = nS(n)$, где $S(n)$ - сумма цифр десятичной записи числа $n$. Существуют ли три подряд идущих хороших числа?

Так как тут идет речь про сумму цифр и $k$ делится на сумму цифр. Скорее всего тут будет использоваться признак делимости на три.

Если $n$ однозначное число, то $k=n^2$. Три подряд однозначных хороших чисел не существует

Посмотрим несколько двузначных чисел, чтобы уловить закономерность. Я буду записывать в формате n|k|остаток при делении на 3

10|10|1
11|22|1
12|36|0
13|52|1
14|70|1
15|90|0
16|112|2
......

Я думаю, что ответ -- нет. $S(n)\ge 1$. Если $S(n)=1$, то число $n$ состоит из 1 и нескольких нулей. При этом $n=k$.

В этом случае число $k+1=n+1\ne (n+1)S(n+1)$, потому как $S(n+1)\le 2$. Подробнее оценка $k+1=n+1< 2(n+1)\le (n+1)S(n+1)$

Если же $S(n)\ge 2$, то тут сложнее, пока что запутался.

Вообщем, исходя из условия, предлагается найти такие натуральные $n$ (или доказать их отсутствие), что $(n+2)S(n+2)=(n+1)S(n+1)+1=nS(n)+2$.

Можете, плиз, пнуть в нужном направлении!

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение21.07.2015, 21:07 
Заслуженный участник


12/09/10
1526
karandash_oleg в сообщении #1039256 писал(а):
16|112|2

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение21.07.2015, 21:29 


04/06/13
203
Спасибо, что поправили.

10|10|1
11|22|1
12|36|0
13|52|1
14|70|1
15|90|0
16|112|1
17|136|1
18|162|0

То есть в любых трех членов последовательности, идущих по порядку, есть два, имеющих остаток единицу при делении на три, а значит эти члены отличаются на три или более. А коли так, то подряд идущих хороших чисел не существует.

Но как это можно доказать в общем виде -- пока что не очевидно. Можно подсказку зала?))

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение21.07.2015, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2912
Москва
Посмотрите, какие бывают остатки от деления на 3 у хороших чисел, и какие остатки бывают у 3х идущих подряд чисел ($0, 1, 2$ в каком-то порядке)

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение21.07.2015, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16524
Москва
karandash_oleg в сообщении #1039273 писал(а):
Можно подсказку зала?
А как связаны остатки от деления на $3$ самого числа $n$ и суммы его цифр?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение22.07.2015, 01:03 


04/06/13
203
Someone в сообщении #1039312 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1039273 писал(а):
Можно подсказку зала?
А как связаны остатки от деления на $3$ самого числа $n$ и суммы его цифр?

Они равны.

$k=(3m+r)(3l+r)=9ml+3m+3l+r^2$

Исходя из полученной формулы выходит при $r=0,1$ остаток от деления $k$ на три будет $0,1$.

Если $r=2$, то остаток от деления $k$ на три будет $1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение22.07.2015, 02:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16524
Москва
Надеюсь, Вам этого достаточно, чтобы
karandash_oleg в сообщении #1039273 писал(а):
доказать в общем виде

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие натуральные числа
Сообщение22.07.2015, 22:01 


04/06/13
203
Да, спасибо, все ясно, странно что сам не догадался изначально

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group