Тензоры - как себе представить?

[Munin]

Spin в сообщении #1039035 писал(а):

Пожалуйста, приведите простой пример использования тензора! На (сравнительно) простой конкретной задаче.

Пожалуйста. Есть такая штука, поляризуемость диэлектрика. Она означает, что если диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле $\vec{E},$ то его молекулы повернутся, изменят форму, или его атомы или ионы просто сдвинутся, так что частично скомпенсируют это внешнее поле. Это описывается как собственное электрическое поле $-4\pi\vec{P}$ (коэффициент и знак обусловлены историческими причинами), и оно в простейшем случае попросту пропорционально внешнему электрическому полю с коэффициентом $1-\varepsilon.$ Обозначим эту величину для удобства одной буквой $a$ (это обозначение нисколько не общепринято).

Но как вы знаете, очень многие твёрдые вещества имеют кристаллическую структуру. Их кристаллическая ячейка не симметрична во все стороны, а ориентирована в некотором направлении. И заряды в таком диэлектрике могут предпочитать смещаться в одном направлении, а в другом - смещаться хуже. Тогда, если первое направление идёт вдоль оси $x,$ то мы можем записать $-4\pi P_x=a_x E_x,$ а по другому направлению - $-4\pi P_y=a_y E_y,$ где $a_x\ne a_y$ - разные коэффициенты. В общем оси координат могут быть не сонаправлены с кристаллическими осями, и требуется девять различных коэффициентов:

$$\begin{cases}-4\pi P_x=a_{xx}E_x+a_{xy}E_y+a_{xz}E_z\\ -4\pi P_y=a_{yx}E_x+a_{yy}E_y+a_{yz}E_z\\ -4\pi P_z=a_{zx}E_x+a_{zy}E_y+a_{zz}E_z.\\ \end{cases}$$

Эти девять коэффициентов и будут тензор.

[epros]

Spin, вообще непонятно, почему возникают трудности с простыми примерыми. Есть же банальнейшие и набившие оскомину приложения тензоров, такие как упругие деформации. Скажем, Вас попросят перечислить, какие бывают виды деформаций. Вы начнёте вспоминать: кажется растяжение и сжатие, сдвиг, а ещё вроде как изгиб и кручение. Ага, изгиб можно описать неоднородными растяжениями и сжатиями, а кручение -- неоднородными сдвигами. А что же такое растяжение/сжатие и сдвиг (в точке)? Вот у растяжения/сжатия есть три независимых направления и коэффициент. Со сдвигом сложнее -- там есть плоскость сдвига, направление в этой плоскости и величина. Вот всё это и должно описываться тензором деформации.