получение уравнений Эйнштейна

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1029010 писал(а):

Мы имеем асимптотически плоское пространство-время, если при $r \to \infty$ и конечных $t:$

$$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{r}\right), \quad, \partial_\sigma g_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right), \quad \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right).$$

Отсюда имеем при $r \to \infty$

$$\sqrt{-g}R=O\left(\frac{1}{r^3}\right), \quad \sqrt{-g}G=O\left(\frac{1}{r^4}\right).$$

Внеинтегральные члены для $\delta S_G$ исчезнут на пространственной бесконечности, аналогичные члены для $\delta S_{EH}$ не исчезнут.

Пока оставлю разбор с вычислением $K$. Хотелось бы обсудить данные условия на асимптотику метрических компонент.
Дело в том, что действие остается конечным не только при таких жестких ограничениях метрические компоненты, но и при более мягких:

$$\sqrt{-g}G=O\left(\frac{1}{r^{3+\sigma}}\right)$$

Скажем если получится. что

$$\sqrt{-g}G \sim\frac{1}{r^{7/2}}$$

то действие также конечно.

$$S_G \sim \iiint{\frac{dxdydz}{r^{7/2}}} \sim \int{\frac{dr}{{r^{3/2}}}}$$

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Можно подобрать такие функции $g_{\mu\nu}$ (при соблюдении в интервале сферической симметрии), чтобы они удовлетворяли уравнениям Гилберта-Эйнштейна в пустоте $R_{\mu\nu}=0$, и в то же время имели данную ослабленную асимптотику.
Не очень понятно жесткое ограничение, указанное в ряде работ.

[schekn]

Nirowulf fizeg SergeyGubanov

Собеседники исчезли, а хотелось бы обсудить еще несколько вопросов.

1).
Ради любопытства рассмотрел несколько вакуумных метрик вне сферически симметричного тела .
Вот например метрика Пенливе в сферических координатах:

$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\sqrt{\frac{r_g}{r}}cdtdr-dr^2-r^2({d\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

Вот она в прямоугольных:

$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\frac{2c}{r}\sqrt{\frac{r_g}{r}}dt(xdx+ydy+zdz)-dx^2-dy^2-dz^2$$

Оказалось (посчитал программкой), что усеченное действие в точности ноль:

$$\sqrt{-g}G=\sqrt{-g}g^{ik}(\Gamma_{il}^{m}\Gamma_{km}^{l}-\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{lm}^{m})=0$$

Забавно, что для при этом не требуется никаких граничных условий (если все правильно подсчитано).

2)
Второй вопрос касается единственности решения , если одна из границ четко не определена.
Скажем в классической одномерной вариационной задаче:

$$I=\int_a^b{F(y,y',x)dx}$$

Если верхний предел неопределен $b=\infty $ решается ли такая задача однозначно?
Понятие бесконечность весьма размыто. В ОТО второе граничное условие означает, что для островной задачи на бесконечности метрика должна перейти
в метрику Минковского , которая записывается в галилеевых координатах или в сферических.

Но , как выясняется среди бесконечного числа метрик , которые удовлетворяют этому, выбирают только те, которые удовлетворяют
определенной асимптотики.
Почему такая жесткость? Если взять скажем $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right)$
И если при этом получается конечная величина усеченного действия?

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1031317 писал(а):

Можно подобрать такие функции $g_{\mu\nu}$ (при соблюдении в интервале сферической симметрии), чтобы они удовлетворяли уравнениям Гилберта-Эйнштейна в пустоте $R_{\mu\nu}=0$, и в то же время имели данную ослабленную асимптотику.
Не очень понятно жесткое ограничение, указанное в ряде работ.

schekn в сообщении #1034658 писал(а):

Почему такая жесткость? Если взять скажем $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right)$
И если при этом получается конечная величина усеченного действия?

Потому что вы не получаете ньютоновскую асимптотику для тяготения, которая имеет место в нерелятивистком случае. Это экспериментальный факт, от которого никуда не деться.

В предлагаемом же вами случае пространственный интеграл в действии ещё и просто расходится. Вообще, если взять асимптотику

$$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left( \frac{1}{r^\alpha} \right), \quad \partial_\sigma g_{\mu \nu}=O \left( \frac{1}{r^{1+\alpha}}\right),$$

то при $\alpha \le 1/2$ интеграл действия разойдётся.

schekn в сообщении #1034658 писал(а):

1).
Ради любопытства рассмотрел несколько вакуумных метрик вне сферически симметричного тела .
Вот например метрика Пенливе в сферических координатах:

$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\sqrt{\frac{r_g}{r}}cdtdr-dr^2-r^2({d\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

Вот она в прямоугольных:

$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\frac{2c}{r}\sqrt{\frac{r_g}{r}}dt(xdx+ydy+zdz)-dx^2-dy^2-dz^2$$

Оказалось (посчитал программкой), что усеченное действие в точности ноль:

$$\sqrt{-g}G=\sqrt{-g}g^{ik}(\Gamma_{il}^{m}\Gamma_{km}^{l}-\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{lm}^{m})=0$$

Забавно, что для при этом не требуется никаких граничных условий (если все правильно подсчитано).

У меня что-то не получилось воспроизвести ваш результат для усечённого лагранжиана в случае координат Пенлеве-Гулстранда.

В любом случае преобразования от координат Шварцшильда к координатам Пенлеве-Гулстранда являются недопустимыми, так как не обладают подходящей асимптотикой при больших $r.$

Условие асимптотической плоскостности пространства не ограничивает координатные преобразования

$$x'^\mu=f^\mu (x)$$

в конечной области, но при $r \to \infty$ функции $f^\mu(x)$ должны вести себя следующим образом

$$f^\mu (x) =\Lambda^\mu_{\phantom{\mu} \nu}x^\nu+a^\mu+O\left( \frac{1}{r^2}\right),$$

где $\Lambda^\mu_{\phantom{\mu} \nu} -$ матрица преобразований Лоренца, а $a^\mu -$ произвольный постоянный вектор. Преобразование

$$T=t \mp \left(2r_g \arctg{\sqrt{\frac{r_g}{r}}}-2\sqrt{r_g r} \right)$$

от координат Шварцильда $(t,r,\theta, \varphi)$ к координатам Пенлеве-Гулстранда $(T, r, \theta, \varphi)$ не обладает нужным асимптотическим поведением.

[schekn]

schekn в сообщении #1034658 писал(а):

Потому что вы не получаете ньютоновскую асимптотику для тяготения, которая имеет место в нерелятивистком случае. Это экспериментальный факт, от которого никуда не деться.

Здесь я немного накосячил. Я позже приведу корректную асимптотику, когда и действие не расходится и условие перехода к ньютоновской теории выполняется на бесконечности. Я не из дома и Мне тут не с руки писать формулы.

-- 14.07.2015, 09:55 --

Nirowulf в сообщении #1036751 писал(а):

координат Шварцильда $(t,r,\theta, \varphi)$ к координатам Пенлеве-Гулстранда $(T, r, \theta, \varphi)$ не обладает нужным асимптотическим поведением.

Этого всего я не понял. Во первых, сам Шварцшильд в указанных стандартных координатах не обладает нужной асимптотикой. Его надо написать в прямоугольных координатах.
Во-вторых , почему я должен брать в качестве "базовой" метрики именно Шварцшильда, от которого мы потом пляшем? Если взять именно Пенлеве и подставить в усеченный лагранжиан, то получится ноль ( может программа у меня глючит, но я проверил несколько раз).

Почему это она не обладают нужной асимптотикой? Очень даже обладает.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1036892 писал(а):

Если взять именно Пенлеве и подставить в усеченный лагранжиан, то получится ноль ( может программа у меня глючит, но я проверил несколько раз).

Для Шварцшильда и в обычных и в изотропных координатах у меня всё совпало с вашими результатами, а вот с Пенлеве-Гулстрандом не получилось. Хорошо бы, если ещё кто-нибудь бы проверил.

schekn в сообщении #1036892 писал(а):

Этого всего я не понял. Во первых, сам Шварцшильд в указанных стандартных координатах не обладает нужной асимптотикой. Его надо написать в прямоугольных координатах.
Во-вторых , почему я должен брать в качестве "базовой" метрики именно Шварцшильда, от которого мы потом пляшем? Если взять именно Пенлеве и подставить в усеченный лагранжиан, то получится ноль ( может программа у меня глючит, но я проверил несколько раз).

Да, я немного забылся. Надо написать преобразование от метрики Шварцшильда в изотропных координатах к Пенлеве-Гулстранду в прямоугольных координатах. Есть шанс, что это преобразование не будет иметь нужного асимптотического поведения при больших $r.$

Пойнт в том, что функция Лагранжа

$$\int d^3x \sqrt{-g}G$$

является инвариантной только по отношению к преобразованиям с правильным асимптотическим поведением при больших $r.$

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1036921 писал(а):

является инвариантной только по отношению к преобразованиям с правильным асимптотическим поведением при больших $r.$

Ну предположим. (Как дополнительное условие).
Но ведь r - это координата. Она для каждой метрики своя и определяется как: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
, а $x,y,z $- свои координаты для Шварцшильда и для Пенлеве. Если запрещается использовать для расчетов метрику Пенлеве, то Сергей Губанов расстроится, это его любимая метрика.
Кстати Шварцшильда не обязательно переводить в изотропный вид. Можно просто сферические координаты переписать в прямоугольные . Просто вид будем громоздкий и появятся перекрестные члены так, что расчеты будут неудобными ( у меня комп даже виснет на них).

-- 14.07.2015, 15:17 --

Nirowulf в сообщении #1036921 писал(а):

Хорошо бы, если ещё кто-нибудь бы проверил.

Вот прямая метрика Пенлеве в координатах $t,x,y,z$ :
$ \begin{pmatrix}{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) & \frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & \frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & \frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}}\cr \frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & -1 & 0 & 0\cr \frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & 0 & -1 & 0\cr \frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

Определитель $g=-c^2$
Вот обратная:

$\begin{pmatrix}-\frac{1}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}} & -\frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) }\cr -\frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & \frac{{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) +\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}+\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}} & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) }\cr -\frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & \frac{{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) +\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}+\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}} & -\frac{{c}^{2}\,rg\,y\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) }\cr -\frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,y\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & \frac{{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) +\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}+\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}\end{pmatrix}$

Не влезла.

Тензор Риччи 0, проверил. $G$ также нулевой.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1036941 писал(а):

Если запрещается использовать для расчетов метрику Пенлеве, то Сергей Губанов расстроится, это его любимая метрика.

Никто не запрещает использовать те или иные координаты. Просто координатные преобразования ограничены условием асимптотической плоскостности.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1036941 писал(а):

Тензор Риччи 0, проверил. $G$ также нулевой.

В общем, как-то я криво вбивал эту метрику в свою программу. Теперь же всё получилось, тоже получил нуль для усечённого лагранжиана.

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1036921 писал(а):

Пойнт в том, что функция Лагранжа

$$\int d^3x \sqrt{-g}G$$

является инвариантной только по отношению к преобразованиям с правильным асимптотическим поведением при больших $r.$

Вот два асимптотических условия на метрические компоненты.



Первая общепринятая, которая фигурирует у Вас, вторую предложили Денисов-Соловьев ($n_{i}=\frac{x_{i}}{r}$).
http://www.mathnet.ru/links/b5e73ca4fe8 ... mf2215.pdf

Они утверждают, что преобразования , которые не меняют асимптотическое поведение компонент (2) также имеют инвариант :

$$\int d^3x \sqrt{-g}G$$

Только он отличается от Вашего инварианта (здесь преобразования чисто пространственных координат). Не проверял, что инвариант, но верю на слово, у них есть еще статьи по теме.

Можно предположить, что для метрики Пенлеве-Гулстранда, хотя и преобразования к ним почему-то являются недопустимыми от координат Шварцшильда,
существуют множество метрик, которые будут иметь асимптотическое поведение :

$$g_{00}=1+O\left(\frac{1}{r}\right) , \quad g_{0i}=O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right), \quad g_{ii}=1+O\left(\frac{1}{r}\right)$$

и интеграл от плотности Лагранжа по 3-м координатам пространства также будет инвариантом.
При этом все основные выводы теории и переход к Ньютону будет соблюдаться.

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1036751 писал(а):

Преобразование

$$T=t \mp \left(2r_g \arctg{\sqrt{\frac{r_g}{r}}}-2\sqrt{r_g r} \right)$$

от координат Шварцильда $(t,r,\theta, \varphi)$ к координатам Пенлеве-Гулстранда $(T, r, \theta, \varphi)$ не обладает нужным асимптотическим поведением.

Здесь у меня тоже другое выражение, если $T$ - нулевая координата Пенлеве, а $t$ - Шварцшильда, то преобразование такое:

$$T=t-r_g\ln{\frac{\sqrt{r}-\sqrt{r_g}}{\sqrt{r}+\sqrt{r_g}}}-2\sqrt{r_gr}$$

Но асимптотика действительно отличается от (1), используемая в литературе.

[Nirowulf]

schekn
Прощу прощения, конечно же, я описался. Там должен стоять гиперболический арктангенс

$$T=t \mp \left( 2r_g \operatorname{arth} \sqrt{\frac{r_g}{r}}-2\sqrt{r_g r}\right).$$

Тогда с учётом формулы

$$\operatorname{arth} z=\frac{1}{2} \ln{\frac{1+z}{1-z}}$$

можно получить ваше выражение.

[piksel]

В варианте уравнений Эйнштейна, получаемых через тождества Бьянки, появляется возможность существования ненулевого лямбда-члена. При получении их с помощью вариации скалярной кривизны (очевидно, по Гильберту), как это показано в ЛЛ2, этот член отсутствуют. Существуют ли модификации этого вариационного метода, например, введением дополнительных краевых условий, приводящие к его появлению?

[Nirowulf]

piksel в сообщении #1139729 писал(а):

Существуют ли модификации этого вариационного метода, например, введением дополнительных краевых условий, приводящие к его появлению?

Я о таком не слышал. Знаю, что космологический член добавляют руками:

$$S_{EH}=-\frac{1}{2 \varkappa}\int d^4 x \sqrt{-g} \left(R-2\Lambda \right).$$