Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.

[karandash_oleg]

Число, большее $10$, является произведением степени тройки на степень семерки. Докажите, что в его десятичной записи есть
хотя бы одна четная цифра.

$N=3^n\cdot 7^k$

Попробую от противного. Пусть десятичная запись числа $N$ состоит только из нечетных цифр. Тогда $3^n\cdot 7^k=a_0+a_1\cdot 10^1+...+a_m\cdot 10^m$. Причем числа $a_1,a_2,a_3,...,a_m$ -- нечетные цифры (по предположению).

Рассмотрим случай $n=k$, тогда $N=21^n=(20+1)^n$. Вроде очевидно, что тут все-таки будут четные цифры. Но как доказать?

Мне кажется, что тут нужно использовать тот факт, что $7=10-3$. Но как именно -- не понимаю. Можете, пожалуйста, пнуть в нужном направлении.

[grizzly]

karandash_oleg

(Оффтоп)

Вы пробовали ещё какие-нибудь гипотезы? Может, какие-то наблюдения? Хорошо бы Вы сообщали и об этих попытках -- можно в оффтопе. Так Вам кто-то сможет подсказать, в чём Вы ошибаетесь методологически. В противном случае за Вас просто порешают задачи, а пользы от этого будет 0. Но я надеюсь, что Вы хотя бы присылаете на форум не все задачи, за которые берётесь, а многое решаете самостоятельно.

По задаче. Часто в таких случаях помогает посмотреть на последнюю или предпоследнюю цифру. Не забудьте на будущее -- всегда в подобных задачах на цифры одна из попыток должна быть "посмотреть за закономерностями в последней паре цифр". Пару закономерностей Вы обнаружите быстро, но попытайтесь доказать их самостоятельно -- в этом есть ещё один нетривиальный момент. О прогрессе или ступоре сообщите здесь, пожалуйста.

[karandash_oleg]

Спасибо, пока что не вижу закономерности среди последних двух цифр. Стоит ли продолжать дальше вычислять??

$$3^17^1=21, 3^1\cdot 7^2=147, 3^2\cdot 7^1=63, 3^2\cdot 7^2=441, 3^3\cdot 7^2=1323, 3^2\cdot 7^3=3087, 3^3\cdot 7^3=9261$$

$$3^4\cdot 7^3=27783, 3^3\cdot 7^4=64827, 3^4\cdot 7^4=194 481, 3^5\cdot 7^4=583 443, 3^4\cdot 7^5=1 361 367, 3^5\cdot 7^5=4 084 101$$

Последняя цифра нечетная всегда. Это ясно и очевидно. Предпоследняя вроде как всегда нечетная. Пока что не видно -- как это доказать

[grizzly]

karandash_oleg в сообщении #1038591 писал(а):

Последняя цифра нечетная всегда.

Этого мало, не любая нечётная.

karandash_oleg в сообщении #1038591 писал(а):

Предпоследняя вроде как всегда нечетная.

А это, надеюсь, просто опечатка.

А теперь попытайтесь найти такие 2 числа (любые, не обязательно такие, как в условии), у которых последняя и предпоследняя цифры удовлетворяют найденным закономерностям и чтобы в их произведении предпоследняя цифра была нечётной. Если не получится, то думайте, почему.

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1038591 писал(а):

Пока что не видно -- как это доказать

Там ведь ещё одна закономерность просматривается -- последняя цифра может быть далеко не любой... И её возможные произведения что на тройку, что на семёрку легко перебираются.

[karandash_oleg]

Последняя цифра $1,3,7$, предпоследняя -- четная. Произведение двух нечетных чисел, оказалось, не может заканчиваться на два нечетных числа, это удивительно, оказалось Очень удивлен. Интересный факт.

$(2n+1)(2k+1)=4nk+2k+2n+1$ -- это доказательство того, что последняя цифра -- нечетная (сумма четного и нечетного числа -- нечетное число).

А вот как зацепить предпоследнюю цифру, пока не очевидно.

Может по индукции по $n$?

Пусть у числа $3^n7^k$ предпоследняя цифра четная. Докажем, что и у числа $3^{n+1}7^k$ тоже предпоследняя цифра нечетная.

То есть нужно доказать, что если число умножить на $3$, тоже будет предпоследняя цифра будет четной.

Пусть $3^n7^k=a_0+a_1\cdot 10+\displaystyle\sum_{m=2}^ra_m\cdot 10^m$.

Тогда $3^n7^k=3a_0+3a_1\cdot 10+3\displaystyle\sum_{m=2}^ra_m\cdot 10^m$

Так как число $a_1$ -- четное, то и $3a_1$ будет четное. Однако, если $a_1>3$, то при умножении на $3$ четная цифра перейдет в разряд сотен. В этом проблема.

Если индукцию делать по $k$ там будет аналогично.

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1038631 писал(а):

Последняя цифра $1,3,7$,

Не обязательно.

karandash_oleg в сообщении #1038631 писал(а):

Однако, если $a_1>3$, то при умножении на $3$ четная цифра перейдет в разряд сотен.

Что значит "перейдёт". Останется-то предпоследней -- какая?

Вы слишком глубоко разложили. Достаточно было представить исходное число как $a_0+10m$. И зачем-то проигнорировали $3a_0$.

[grizzly]

karandash_oleg в сообщении #1038631 писал(а):

Произведение двух нечетных чисел, оказалось, не может заканчиваться на два нечетных числа, это удивительно, оказалось Очень удивлен. Интересный факт.

Рассмотрите простой пример $13\cdot 15=195$. Вы неаккураны в формулировках, торопитесь с выводами, торопитесь узнать решения. Это зря -- Вы лишаете себя главного удовольствия и пользы.

[karandash_oleg]

Спасибо! А идея про индукцию прокатит?

Исходное число $a_0+10m$. После умножения на три будет $3a_0+30m$.

Если $a_0<4$, то $3a_0$ не влияет на количество десятков. Если $a_0\ge 4$, то влияет. Теперь бы узнать -- как влияет именно)

Конечно, завернули в $m$ неудобную запись, но теперь как-то сложнее мне стало наоборот

При умножении на три количество десятков утроилось. Так как по предположению индукции количество десятков до домножения на три было четным, то и после домножения на три остается четным (я понял, что если изначально десятков было $4$ или $6$ или $8$, то после умножения на три будет $2$ или $8$ или $4$ соответственно).

Ну а база индукции выполняется $21\cdot 3=63$

Так же прогоняем индукцию $k$.

Можно ли это считать доказательством?

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1038722 писал(а):

При умножении на три количество десятков утроилось.

Дело вовсе не в том, что утроилось или там усемерилось. А в том, что не изменилась чётность этого к-ва.

karandash_oleg в сообщении #1038722 писал(а):

Если $a_0<4$, то

то бессмысленно. Бессмысленно меньше-больше; просто переберите все возможные вторые цифры произведения.

[karandash_oleg]

karandash_oleg в сообщении #1038728 писал(а):

ewert в сообщении #1038727 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1038722 писал(а):

При умножении на три количество десятков утроилось.

Дело вовсе не в том, что утроилось или там усемерилось. А в том, что не изменилась чётность этого к-ва.

Да, я хотел сказать, что если четное число умножить на три, оно по прежнему останется четным

-- 19.07.2015, 21:42 --

Последняя цифра может быть $1,3,7,9$

Получаем варианты:

Первый блок:

Последние две цифры $21$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $41$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

Последние две цифры $61$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $81$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $01$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Второй блок:

Последние две цифры $23$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $43$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

Последние две цифры $63$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $83$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $03$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Третий блок:

Последние две цифры $27$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $47$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $67$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Последние две цифры $87$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $07$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

Четвертый блок:

Последние две цифры $29$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $49$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $69$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Последние две цифры $89$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $09$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

-- 19.07.2015, 21:42 --

Правильно? Можно ли это считать доказательством?

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1038728 писал(а):

Можно ли это считать доказательством?

Нельзя -- шибко длинно. Достаточно выписать восемь строчек, после чего азартно сказать: ага, смотрите -- во всех вариантах вторая цифра-то!