2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 14:38 


04/06/13
203
Число, большее $10$, является произведением степени тройки на степень семерки. Докажите, что в его десятичной записи есть
хотя бы одна четная цифра.

$N=3^n\cdot 7^k$

Попробую от противного. Пусть десятичная запись числа $N$ состоит только из нечетных цифр. Тогда $3^n\cdot 7^k=a_0+a_1\cdot 10^1+...+a_m\cdot 10^m$. Причем числа $a_1,a_2,a_3,...,a_m$ -- нечетные цифры (по предположению).

Рассмотрим случай $n=k$, тогда $N=21^n=(20+1)^n$. Вроде очевидно, что тут все-таки будут четные цифры. Но как доказать?

Мне кажется, что тут нужно использовать тот факт, что $7=10-3$. Но как именно -- не понимаю. Можете, пожалуйста, пнуть в нужном направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
karandash_oleg

(Оффтоп)

Вы пробовали ещё какие-нибудь гипотезы? Может, какие-то наблюдения? Хорошо бы Вы сообщали и об этих попытках -- можно в оффтопе. Так Вам кто-то сможет подсказать, в чём Вы ошибаетесь методологически. В противном случае за Вас просто порешают задачи, а пользы от этого будет 0. Но я надеюсь, что Вы хотя бы присылаете на форум не все задачи, за которые берётесь, а многое решаете самостоятельно.

По задаче. Часто в таких случаях помогает посмотреть на последнюю или предпоследнюю цифру. Не забудьте на будущее -- всегда в подобных задачах на цифры одна из попыток должна быть "посмотреть за закономерностями в последней паре цифр". Пару закономерностей Вы обнаружите быстро, но попытайтесь доказать их самостоятельно -- в этом есть ещё один нетривиальный момент. О прогрессе или ступоре сообщите здесь, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 15:41 


04/06/13
203
Спасибо, пока что не вижу закономерности среди последних двух цифр. Стоит ли продолжать дальше вычислять??

$$3^17^1=21, 3^1\cdot 7^2=147, 3^2\cdot 7^1=63, 3^2\cdot 7^2=441, 3^3\cdot 7^2=1323, 3^2\cdot 7^3=3087, 3^3\cdot 7^3=9261$$

$$3^4\cdot 7^3=27783, 3^3\cdot 7^4=64827, 3^4\cdot 7^4=194 481, 3^5\cdot 7^4=583 443, 3^4\cdot 7^5=1 361 367, 3^5\cdot 7^5=4 084 101$$

Последняя цифра нечетная всегда. Это ясно и очевидно. Предпоследняя вроде как всегда нечетная. Пока что не видно -- как это доказать

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
karandash_oleg в сообщении #1038591 писал(а):
Последняя цифра нечетная всегда.

Этого мало, не любая нечётная.

karandash_oleg в сообщении #1038591 писал(а):
Предпоследняя вроде как всегда нечетная.

А это, надеюсь, просто опечатка.

А теперь попытайтесь найти такие 2 числа (любые, не обязательно такие, как в условии), у которых последняя и предпоследняя цифры удовлетворяют найденным закономерностям и чтобы в их произведении предпоследняя цифра была нечётной. Если не получится, то думайте, почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 16:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
karandash_oleg в сообщении #1038591 писал(а):
Пока что не видно -- как это доказать

Там ведь ещё одна закономерность просматривается -- последняя цифра может быть далеко не любой... И её возможные произведения что на тройку, что на семёрку легко перебираются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 16:45 


04/06/13
203
Последняя цифра $1,3,7$, предпоследняя -- четная. Произведение двух нечетных чисел, оказалось, не может заканчиваться на два нечетных числа, это удивительно, оказалось :shock: Очень удивлен. Интересный факт.

$(2n+1)(2k+1)=4nk+2k+2n+1$ -- это доказательство того, что последняя цифра -- нечетная (сумма четного и нечетного числа -- нечетное число).

А вот как зацепить предпоследнюю цифру, пока не очевидно.

Может по индукции по $n$?

Пусть у числа $3^n7^k$ предпоследняя цифра четная. Докажем, что и у числа $3^{n+1}7^k$ тоже предпоследняя цифра нечетная.

То есть нужно доказать, что если число умножить на $3$, тоже будет предпоследняя цифра будет четной.

Пусть $3^n7^k=a_0+a_1\cdot 10+\displaystyle\sum_{m=2}^ra_m\cdot 10^m$.

Тогда $3^n7^k=3a_0+3a_1\cdot 10+3\displaystyle\sum_{m=2}^ra_m\cdot 10^m$

Так как число $a_1$ -- четное, то и $3a_1$ будет четное. Однако, если $a_1>3$, то при умножении на $3$ четная цифра перейдет в разряд сотен. В этом проблема.

Если индукцию делать по $k$ там будет аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 16:55 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
karandash_oleg в сообщении #1038631 писал(а):
Последняя цифра $1,3,7$,

Не обязательно.

karandash_oleg в сообщении #1038631 писал(а):
Однако, если $a_1>3$, то при умножении на $3$ четная цифра перейдет в разряд сотен.

Что значит "перейдёт". Останется-то предпоследней -- какая?

Вы слишком глубоко разложили. Достаточно было представить исходное число как $a_0+10m$. И зачем-то проигнорировали $3a_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
karandash_oleg в сообщении #1038631 писал(а):
Произведение двух нечетных чисел, оказалось, не может заканчиваться на два нечетных числа, это удивительно, оказалось :shock: Очень удивлен. Интересный факт.

Рассмотрите простой пример $13\cdot 15=195$. Вы неаккураны в формулировках, торопитесь с выводами, торопитесь узнать решения. Это зря -- Вы лишаете себя главного удовольствия и пользы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 21:11 


04/06/13
203
Спасибо! А идея про индукцию прокатит?

Исходное число $a_0+10m$. После умножения на три будет $3a_0+30m$.

Если $a_0<4$, то $3a_0$ не влияет на количество десятков. Если $a_0\ge 4$, то влияет. Теперь бы узнать -- как влияет именно)

Конечно, завернули в $m$ неудобную запись, но теперь как-то сложнее мне стало наоборот :D

При умножении на три количество десятков утроилось. Так как по предположению индукции количество десятков до домножения на три было четным, то и после домножения на три остается четным (я понял, что если изначально десятков было $4$ или $6$ или $8$, то после умножения на три будет $2$ или $8$ или $4$ соответственно).

Ну а база индукции выполняется $21\cdot 3=63$

Так же прогоняем индукцию $k$.

Можно ли это считать доказательством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 21:22 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
karandash_oleg в сообщении #1038722 писал(а):
При умножении на три количество десятков утроилось.

Дело вовсе не в том, что утроилось или там усемерилось. А в том, что не изменилась чётность этого к-ва.

karandash_oleg в сообщении #1038722 писал(а):
Если $a_0<4$, то

то бессмысленно. Бессмысленно меньше-больше; просто переберите все возможные вторые цифры произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 21:29 


04/06/13
203
karandash_oleg в сообщении #1038728 писал(а):
ewert в сообщении #1038727 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1038722 писал(а):
При умножении на три количество десятков утроилось.

Дело вовсе не в том, что утроилось или там усемерилось. А в том, что не изменилась чётность этого к-ва.

Да, я хотел сказать, что если четное число умножить на три, оно по прежнему останется четным

-- 19.07.2015, 21:42 --

Последняя цифра может быть $1,3,7,9$

Получаем варианты:

Первый блок:

Последние две цифры $21$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $41$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

Последние две цифры $61$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $81$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $01$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Второй блок:

Последние две цифры $23$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $43$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

Последние две цифры $63$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $83$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $03$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Третий блок:

Последние две цифры $27$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $47$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $67$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Последние две цифры $87$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $07$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

Четвертый блок:

Последние две цифры $29$, после умножения на $3$ количество десятков станет $8$

Последние две цифры $49$, после умножения на $3$ количество десятков станет $4$

Последние две цифры $69$, после умножения на $3$ количество десятков станет $0$

Последние две цифры $89$, после умножения на $3$ количество десятков станет $6$

Последние две цифры $09$, после умножения на $3$ количество десятков станет $2$

-- 19.07.2015, 21:42 --

Правильно? Можно ли это считать доказательством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись числа. Хотя бы одна четная цифра.
Сообщение19.07.2015, 21:47 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
karandash_oleg в сообщении #1038728 писал(а):
Можно ли это считать доказательством?

Нельзя -- шибко длинно. Достаточно выписать восемь строчек, после чего азартно сказать: ага, смотрите -- во всех вариантах вторая цифра-то!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group