Вопрос, связанный с прикладной задачей

[BENEDIKT]

Хотелось бы обратиться с вопросом к уважаемым участникам форума с вопросом.
Возникла необходимость выведения функции по эмпирическим данным. Сделать это я пока могу только "пещерным способом", т. е. сперва на глазок определяю по кривой, какая функция могла бы приблизительно описывать имеющуюся зависимость, затем в уравнения такой функции подставляю известные мне значения аргумента и функции, решаю систему из нескольких уравнений относительно коэффициентов, нахожу коэффициенты и получаю уравнение необходимой мне функции.
В данном случае решил использовать функцию вида $y=k sin(x+l)+m$, так как кривая, описывающая изменение исследуемой величины, похожа на синусоиду. Прошу не судить строго сам факт таких упрощений, так как в данном случае погрешности вполне допустимы, необходимо лишь получить уравнение, весьма приблизительно описывающее зависимость.
Для "выведения" (если можно так выразиться) функции использовал 3 эмпирических значения (2 точки максимума и 1 точку минимума кривой): $(2; 25637); (3;15232); (4; 25637)$
Эмпирические значения в точках максимума на деле немного другие, но отличаются они незначительно, а мне, естественно, необходимо, что бы в точках максимума функция принимала одни и те же значения.
Поскольку область значений функции $y=sinx$ - отрезок $[-1;1]$, я принял эмпирические значения $15232$ (минимальное) и $25637$ (максимальное), как, соответственно, -1 и 1.
Далее составил систему из 3 уравнений с 3-мя неизвестными: подставил эмпирические значения аргумента и функции: $(2; 1); (3; -1)$ и $(4; 1)$ и решил относительно коэффициентов $k; l; m$. Получил значения, соответственно, $2,3927; 0$ и -$1,175$
После чего подставил их в уравнение, приняв $x; y$ теперь уже в качестве неизвестных:
$y=2,3927sinx-1,175$
Но это уравнение описывает изменение функции с областью значений $[-1;1]$, а мне нужно перейти к функции с ОЗФ $[15232;25637]$

Подозреваю, что, вероятно, я налепил вообще что-то не то... Я просто пока не представляю, как нормальные люди используют тригонометрические функции для описания изменения величин по эмпирическим данным, как они переходят от имеющегося эмпирического диапазона значений к диапазону $[-1;1]$

[grizzly]

BENEDIKT в сообщении #1038185 писал(а):

Поскольку область значений функции $y=\sin x$ - отрезок $[-1;1]$, я принял эмпирические значения $15232$ (минимальное) и $25637$ (максимальное), как, соответственно, -1 и 1.
Далее составил систему из 3 уравнений с 3-мя неизвестными: подставил эмпирические значения аргумента и функции: $(2; 1); (3; -1)$ и $(4; 1)$ и решил относительно коэффициентов $k; l; m$. Получил значения, соответственно, $2,3927; 0$ и -$1,175$

Здесь что-то пошло не так. Если Вы приняли такой вид синусоиды за базовый и если между указанными точками нет других экстремумов, нужно было просто взять в качестве решения уравнение $y=\sin (\pi x+\pi/2)$ (убедитесь, что я не ошибся и оно подходит под Ваши точки: $(2; 1);(3; -1)$ и $(4; 1)$). Теперь Вам нужно этот график поднять вверх и растянуть по вертикали. Для этих целей используете коэффициенты $k$ и $m$, соответственно, в уравнении $y=m\sin (\pi x+\pi/2)+k$:
$k+m=25637; \qquad k-m=15232$.
Дальше понятно. Последнее уравнение с этими коэффициентами и будет Ваша функция.

Надеюсь, это то, за чем Вы приходили. А чего-то хитрее по такой Вашей постановке задачи предложить не могу.

[Shtorm]

BENEDIKT в сообщении #1038185 писал(а):

В данном случае решил использовать функцию вида $y=k sin(x+l)+m$

BENEDIKT в сообщении #1038185 писал(а):

оскольку область значений функции $y=sinx$ - отрезок $[-1;1]$,

Если область значений функции $y=\sin(x)$ отрезок $[-1;1]$, то область значений функции $y=k \cdot \sin(x+l)$ отрезок $[-k;k]$. А область значений функции $y=k\cdot sin(x+l)+m$ отрезок $[-k+m;k+m]$.
grizzly, тоже самое написал, я просто решил выразить лаконичнее про области значений.
BENEDIKT, а у меня такой к Вам вопрос, Ваши эмпирические точки все прям разбросаны по синусоиде или хвосты выпрямляются? И много ли вообще точек? Это я к тому клоню, что может быть лучше использовать интерполяционный полином Лагранжа?

[BENEDIKT]

grizzly, Shtorm
Большое спасибо за помощь.

Shtorm в сообщении #1038221 писал(а):

BENEDIKT, а у меня такой к Вам вопрос, Ваши эмпирические точки все прям разбросаны по синусоиде или хвосты выпрямляются? И много ли вообще точек? Это я к тому клоню, что может быть лучше использовать интерполяционный полином Лагранжа?

Безусловно, это лучше, и мне следует научиться это делать.
"Хвосты" выпрямляются, но не очень сильно; точек не много - 6. Думаю, для очень приблизительного описания динамики вполне достаточно рассматриваемой модели. Хотя не стану спорить с тем, что излишней точности не бывает. :)

[Shtorm]

BENEDIKT, прочитайте для интереса в Википедии про интерполяционный полином Лагранжа, а можно не в Вики, а в учебнике. 6 точек, кажется вполне будут уместны для его применения. Тут ещё зависит как дальше будете использовать полученную функцию. А то бывает, что экспериментальные точки являются результатом какого-то физического процесса и нужно чтобы функция, которую мы подобрали эмпирически по точкам, являлась решением дифференциального уравнения. Тогда важно, какой именно функцией описывать.

[BENEDIKT]

Shtorm
Ok, благодарю Вас.