Использование кривизны для поиска асимптот

[Evgenjy]

Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):

$K \to 0$ при $x \to \infty$.

Это условие еще и не являться достаточным, например $y=x^2$. Поэтому для поиска асимптот мало пригодно.

[Shtorm]

iifat в сообщении #1036481 писал(а):

бремя доказательства

Вот из чего я исходил:

Если функция имеет асимптоту, то на бесконечности она вырождается в прямую, а кривизна прямой равна нулю. Такой ясный и красивый тезис, согласитесь? Случай осцилляции кривой с возрастающей частотой вдоль своей асимптоты является особым случаем, который является исключением. Для простоты и ясности понимания рассматриваем пока только явные однозначные элементарные функции (хотя возможно переход на другие функции осуществляется просто одним росчерком пера ). Подавляющее большинство функций вообще не имеет асимптот (надеюсь это корректное выражение), и как раз приведённый Вами пример - из таких функций, не имеющих асимптот. И правда, увеличение или неуменьшение кривизны Вы продемонстрировали, равно как и продемонстрировали, что функция асимптоты не имеет и следовательно не относится к рассматриваемым случаям. В связи с этим к Вам вопрос, а почему, собственно, Вы уверены, что Вы правы, а я не прав?

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1036475 писал(а):

то есть с падением частоты колебаний, то с учётом падения амплитуды, кривизна будет стремиться к нулю.

Эти функции Вам помогут построить предлагаемый iifat контр-пример:

Oleg Zubelevich в сообщении #1035167 писал(а):

$\Big\{\frac{1}{1+(x+n)^2}\Big\}$

Подсказка: Добавьте $n$ в знаменатель, возьмите только те функции, для которых $n=10^k$ просуммируйте их все (не тупо, конечно), может ещё что. В общем, поиграйтесь самостоятельно -- научитесь, например, делать так, чтобы кривизна у пиков очень быстро росла на минус бесконечности.

[Shtorm]

Evgenjy в сообщении #1036532 писал(а):

Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):

$K \to 0$ при $x \to \infty$.

Это условие еще и не являться достаточным, например $y=x^2$. Поэтому для поиска асимптот мало пригодно.

Да, Вы правы!

[Oleg Zubelevich]

Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):

ю (в том числе горизонтальную) асимптоту, то кривизна кривой $K \to 0$ при $x \to \infty$. Это

существует последовательность $x_n\to\infty$ по которой кривизна стремится к нулю

[Shtorm]

grizzly в сообщении #1036541 писал(а):

Эти функции Вам помогут построить предлагаемый iifat контр-пример:

Я правильно Вас понял, Вы хотели, чтобы я составил конструкцию типа:

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k+x^2}$$

или что-то другое?

-- Пн июл 13, 2015 16:26:03 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1036566 писал(а):

существует последовательность $x_n\to\infty$ по которой кривизна стремится к нулю

Ага. Ну, то есть Otta была права: мы можем использовать данное условие лишь как необходимое. То есть: если явная однозначная элементарная вещественнозначная $f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, и при этом частота осцилляции $f(x)$ вдоль этой асимптоты не возрастает, то кривизна кривой стремится к нулю при $x\to \infty$. Но если у какой-то кривой кривизна стремится к нулю на бесконечности, то то вовсе не обозначает, что данная кривая имеет асимптоту. Так?

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1036626 писал(а):

Я правильно Вас понял, Вы хотели, чтобы я составил конструкцию типа:

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k+x^2}$$

Не представляю, как бы такое могло помочь в Вашем вопросе. Нет, я имел в виду другое. Что-то типа такого:

$$ f(x)=\sum\limits_{n\in \{10^k, k\ge 1\}}\frac{n^{-1}}{1+(x-n)^n}, \quad x\ge 1. $$

Это только идея. Мне лень обосновывать корректность, но я уверен, что если Вы попытаетесь изобразить парочку первых слагаемых на листочке, то обсуждаемый вопрос прояснится для Вас.

[Shtorm]

grizzly, спасибо за формулу. Только я уточню, суммирование идёт не до бесконечности, а до $10^k$, причём выбираем любое $k$, удовлетворяющее условиям $k\in \mathbb{N}$ и $k\geqslant 1$, правильно я понял? Ну тогда, при каких-то положительных значениях $x>a$ возникает монотонно спадающая часть кривой, которая без всяких осцилляций приближается к нулю. При отрицательных $x$, такой же монотонно спадающий хвост будет возникать. Следовательно, имеем кривизну стремящуюся к нулю. Если же суммирование до бесконечности, тогда по определению Пискунова, это не будет являться элементарной функцией.
Возможно я что-то не понял, тогда смиренно прошу мне подробно разжевать.

[Алексей К.]

сообщениe #1036447 писал(а):

Если при $x \to \infty$ кривая график функции имеет наклонную (в том числе горизонтальную) асимптоту, то кривизна кривой графика $K \to 0$ при $x \to \infty$.

сообщение #1036539 писал(а):

Если функция график функции имеет асимптоту...

[Nemiroff]

Дежа вю, дежа антандю и дежа весю на виселице висю.
post583768.html#p583768

[Алексей К.]

Nemiroff в сообщении #1036757 писал(а):

дежа весю

Nemiroff, SVP, --- про весю не могу допереть...

[Shtorm]

Алексей К., спасибо за Ваше участие в теме. Да, я помнил, что Вы меня критиковали за неправильное использование терминов "кривая" и "график функции", но здесь-то в данном конкретном случае, я посчитал, что эти понятия равносильны. Я не прав? Прошу Вас тогда смиренно мне разжевать сие дело. Также я помнил, что Вы критиковали меня за использование термина "функция", вместо "график функции", но я же говорил, что в какой-то книге прочитал, что можно вместо термина "график функции" использовать просто "функция", для простоты повествования. Тоже ошибочное представление?
Nemiroff, да, я помнил об этом сюжете и хотел привести его в теме чуть попозже.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Да потому что фейл на фейле. Я отчего-то вообразил, что vivre спрягается с ç. Векю там должно быть.

[Алексей К.]

Shtorm,

вот взял я функцию выпрыгивания с моего 4-го этажа, $h=12\text{м} - \frac12 gt^2$. Ну и кривую вообразил ($h\to y$, $t\to x$).
Типа --- нельзя ли кривизну сосчитать при $t=1\text{сек}$? Пусть $g$ будет совсем круглым.

-- 13 июл 2015, 22:50:25 --

(Оффтоп)

Nemiroff, спасибо, успокоили.

[Shtorm]

Алексей К., а что не так? Есть понятие средней кривизны, а есть понятие кривизны в точке. В этой теме вроде пока говорили только о кривизне в точке. Берём Вашу функцию, находим производные, подставляем в формулу кривизны в точке и подставляем время равное одной секунде. Что-то не так?