Интегральное преобразование - свёртка

[Viktor92]

Добрый день. Уже всю голову сломал, чтобы представить , что делает свёртка двух функций. Вот в статье из википедии есть анимация двух свёрток сигналов https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D0%BA%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7), очевидно что функция получающаяся в результате свёртки пропорциональна (или совпадает?) с площадью фигуры образованной двумя графиками и осью абсцисс при данном сдвиге, поигравшись со свёрткой простых функций типа прямоугольного сигнала, но разной амплитуды, получилось что свёртка равна половине той самой площади, правилен ли результат? Хотя мне кажется, что для разных функций коэффициент пропорциональности площади будет разным?

[arseniiv]

$$\int_{\mathbb R} (f*g)(x)\,dx = \left(\int_{\mathbb R} f(x)\,dx\right)\left(\int_{\mathbb R} g(x)\,dx\right).$$

То есть, если интеграл от ядра единичный, свёртка с ним не меняет интеграл от подопытной функции. Видимо, у вас он был половиной.

Хорошим примером для понимания свёртки будет фильтр под интересным названием «матрица свёртки» в некоторых графических редакторах. Это как раз свёртка — только двумерная и дискретная.

[Viktor92]

Извиняюсь, наверно я не силён в терминологии, знаю только ядро отображения, а что такое ядро свёртки? И я так понял мои предположения о наличии какой-то связи значений свёртки с площадью под графиками ошибочны?

[amon]

Viktor92 в сообщении #1036258 писал(а):

И я так понял мои предположения о наличии какой-то связи значений свёртки с площадью под графиками ошибочны?

Если все правильно сделать, то "площадь свертки равна произведению площадей сворачиваемых функций". Проверьте пределы интегрирования в Ваших расчетах.

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #1036258 писал(а):

Извиняюсь, наверно я не силён в терминологии, знаю только ядро отображения, а что такое ядро свёртки?

Ну, это я виноват, подумав, что это есть там, где вы читали. Ядро свёртки — это просто одна из сворачиваемых функций. Часто в приложениях они неравноправны — $f$ и $f*g$ обозначают, например, сигнал до и после преобразования, а $g$, ядро, определяет это преобразование. В той же обработке изображений ядро обычно ненулевое в небольшой и ограниченной области.

Viktor92 в сообщении #1036258 писал(а):

И я так понял мои предположения о наличии какой-то связи значений свёртки с площадью под графиками ошибочны?

Половина никак не может быть в любом случае.

Вы ещё для одномерной свёртки, раз вначале речь и была о ней, можете представить поверхность — график функции двух переменных $f(x) g(y)$. Теперь, если брать интегралы от этой функции по прямым $x + y = C$, это и будут значения свёртки в точках $C$. Заодно отсюда легко видеть, почему свёртка коммутативна.

[ewert]

Viktor92 в сообщении #1036258 писал(а):

знаю только ядро отображения, а что такое ядро свёртки?

Термин "ядро" имеет два основных значения:

1). Ядро линейного оператора, или отображения -- множество элементов, которые этим оператором обнуляются.

2). Ядро интегрального оператора -- функция двух аргументов, стоящая в качестве множителя под знаком интеграла, задающего этот оператор.

В данном случае имелось в виду второе (свёртка -- это частный случай интегрального оператора).

[Viktor92]

arseniiv в сообщении #1036264 писал(а):

Вы ещё для одномерной свёртки, раз вначале речь и была о ней, можете представить поверхность — график функции двух переменных $f(x) g(y)$. Теперь, если брать интегралы от этой функции по прямым $x + y = C$, это и будут значения свёртки в точках $C$. Заодно отсюда легко видеть, почему свёртка коммутативна.

Здесь Вы подразумевали криволинейный интеграл первого рода, по кривой лежащей на поверхности, которая лежит в плоскости перпендикулярной $Oxy$ и проходящей через прямую $x+y=C$, а значение $C$ есть тот самый "cдвиг" одной из подъинтегральных функций?

ewert в сообщении #1036268 писал(а):

2). Ядро интегрального оператора -- функция двух аргументов, стоящая в качестве множителя под знаком интеграла, задающего этот оператор.
В данном случае имелось в виду второе (свёртка -- это частный случай интегрального оператора).

Значит в свёртке ядром, называется функция, которая "сдвигается" вида $g(\tau-t)$?

[ewert]

Viktor92 в сообщении #1036283 писал(а):

Значит в свёртке ядром, называется функция, которая "сдвигается" вида $g(\tau-t)$?

Да. Только не называется, а может при желании назваться (если сама свёртка вдруг захочет узнать в себе интегрального оператора).

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1036228 писал(а):

Уже всю голову сломал, чтобы представить , что делает свёртка двух функций.

Munin в сообщении #767009 писал(а):

Вот так примерно:

[Oleg Zubelevich]

что бы понять, что такое свертка нужно почитать учебник по функану и обратить внимание на следующие вещи

1) $f*\delta_x=?$
2) $\mathrm{FourierTransform}(f* g)=?,\quad \mathrm{FourierTransform}(f g)=?$
и третье, что вплотную примыкает к 2). Рассотрим два ряда Фурье $f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} f_ke^{ikx},\quad g(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}g_ke^{ikx}$
$f g=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\big(\sum_{m+n=k}f_mg_n\big)e^{ikx}$

Вот это $\sum_{m+n=k}f_mg_n$ и есть свертка только дискретная, вместо интеграла -- сумма

-- Вс июл 12, 2015 22:06:53 --

еще вот это еще продумайте $\mathrm{supp}(f *g)\subset \mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(g)$

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1036357 писал(а):

что бы понять, что такое свертка нужно почитать учебник по функану

Не нужно. И даже глубоко вредно. Ибо функан возникает далеко, далеко опосля. А для многих -- даже и вовсе не возникает. Свёртка же возникает достаточно часто и достаточно быстро.

Ещё один пример категорического непонимания приоритетов.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1036366 писал(а):

один пример категорического непонимания приоритетов.

не Вам судить о приоритетах. правильно расставлять приоритеты могут люди ,которые занимаются исследовательской работой, а Вы способны только пересказывать годами один и тот же учебник

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1036357 писал(а):

нужно почитать учебник по функану и обратить внимание на следующие вещи

1) $f*\delta_x=?$
2) $\mathrm{FourierTransform}(f* g)=?,\quad \mathrm{FourierTransform}(f g)=?$

Про это я уж и не говорю. Это тупо анекдот -- рекомендовать как обязательный конкретный учебник, да к тому же ещё и неопределённый.

(не понимаю, почему именно по поводу именно этой тривиальщины мои сообщения сдублировались. Мне это было ба лень, ей-бога.

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #1036283 писал(а):

Здесь Вы подразумевали криволинейный интеграл первого рода, по кривой лежащей на поверхности, которая лежит в плоскости перпендикулярной $Oxy$ и проходящей через прямую $x+y=C$

Не сказать чтобы так. Просто по прямой $x+y = C$ функции двух аргументов. Поверхность — это уже график функции, и если брать описанное вами сечение, получится график функции одного аргумента $t\mapsto f(t)g(C-t)$ или какого-то её сдвига, интеграл от которой, во-первых, по определению и есть свёртка, а во-вторых он равен криволинейному интегралу $\int_{x+y=C} f(x)g(y)\,dx$.

[Viktor92]

Всем спасибо за ответы, вручную взяв свёртку от двух ступенчатых функций и проверив равенство площади под графиком свёртки равенству произведения площадей под графиками сворачиваемых функций во всём разобрался.

Oleg Zubelevich в сообщении #1036357 писал(а):

что бы понять, что такое свертка нужно почитать учебник по функану и обратить внимание на следующие вещи

Спасибо за совет, может до функана когда-нибудь придётся дойти, а пока вопрос о свёртки возник из теории вероятностей для нахождения плотности распределения суммы случайных независимых величин по известным распределениям составляющих.