Помогите разобраться с векторным произведением

[felixfix]

Здравствуйте уважаемые знатоки встал вопрос определения векторного произведение двух векторов в цилиндрической системе координат. Если для декартовой системы векторное выражение часто встречается в литературе:
$ [a,b] = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = i \cdot (a_y b_z - a_z b_y) - j \cdot (a_x b_z - a_z b_x) + k \cdot (a_x b_y - a_y b_x)$,

то вот для цилиндрической и сферической систем координат выражений не нашел. Если нетрудно напишите, как это выражение будет выглядеть.

[Oleg Zubelevich]

В любом положительно ориентированном ортонормированном базисе векторное произведение вычисляется по той формуле, что Вы написали. Другое дело, что в случае цилиндрической (и вообще любой криволинейной системы) в каждой точке пространства торчит свой базис, состоящий из векторов, касательных к координатным линиям в данной точке, в разных точках пространства он разный. Векторы, которые Вы перемножаете надо считать торчащими из одной точки и раскладывать их надо по базису в этой точке.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035709 писал(а):

Векторы, которые Вы перемножаете надо считать торчащими из одной точки

Векторы из точки торчать не умеют, в остальном конечно.

[felixfix]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035709 писал(а):

В любом положительно ориентированном ортонормированном базисе векторное произведение вычисляется по той формуле, что Вы написали. Другое дело, что в случае цилиндрической (и вообще любой криволинейной системы) в каждой точке пространства торчит свой базис, состоящий из векторов, касательных к координатным линиям в данной точке, в разных точках пространства он разный. Векторы, которые Вы перемножаете надо считать торчащими из одной точки и раскладывать их надо по базису в этой точке.

Спасибо за столь оперативный и емкий ответ!

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #1035711 писал(а):

Векторы из точки торчать не умеют,

дифференциальную геометрию значит не понимаете на уровне базовых конструкций

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035722 писал(а):

дифференциальную геометрию значит не понимаете на уровне базовых конструкций

Что Вы имели в виду ewert понимает, и многие понимают, а вот ТС—наверняка нет и прифантазирует чего-нибудь, и на Вас ссылаться будет.

[felixfix]

Мне собственно нужно решить задачу движения иона в цилиндрическом канале в условиях магнитного поля. В векторном виде задача выглядит просто $ma=q[Bv]$ где m - масса иона, а - традиционно ускорение (вектор), q - заряд, В - напряженность магнитного поля(вектор), v - скорость иона (вектор). Чтобы решить задачу нужно записать систему уравнений в проекциях на оси и вот как она будет выглядеть в цилиндрической системе координат, вопрос.

[ewert]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1035726 писал(а):

Что Вы имели в виду ewert понимает[/quote]
Я понимаю, что Oleg Zubelevich не понимает, что он хотел сказать -- и что у него вышло. Ещё можно говорить (на жаргоне), что локальный базис откуда-то там торчит. И совершенно бессмысленно говорить о том, что откуда-то торчат раскладываемые по этому базису векторы.

[Red_Herring]

felixfix в сообщении #1035735 писал(а):

Мне собственно нужно решить задачу движения иона в цилиндрическом канале в условиях магнитного поля. В векторном виде задача выглядит просто $ma=q[Bv]$ где m - масса иона, а - традиционно ускорение (вектор), q - заряд, В - напряженность магнитного поля(вектор), v - скорость иона (вектор). Чтобы решить задачу нужно записать систему уравнений в проекциях на оси и вот как она будет выглядеть в цилиндрической системе координат, вопрос.

Является ли магнитное поле постоянным? Если да, то направлено ли оно вдоль оси канала?
Знаете ли Вы как ион движется в постоянном магнитном поле во всем пространстве?
А если не во всем пространстве, что происходит при соударении со стенками?

ПС Вам абсолютно не нужна цилиндрическая система координат в этой задаче

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #1035740 писал(а):

Ещё можно говорить (на жаргоне), что локальный базис откуда-то там торчит. И совершенно бессмысленно говорить о том, что откуда-то торчат раскладываемые по этому базису векторы.

Базис существует в касательном пространстве к многообразию, касательное пространство определено в каждой точке $x$ многообразия , Вы наверное видели в учебниках встречается такой значок $T_xM$, это и есть касательное пространство к многообразию $M$ в точке $x$. В данном случае $M=\mathbb{R}^3$. А цилиндрические координаты это локальные координаты на этом многообразии. Векторы живут в касательных пространствах. Вектор торчит из точки $x$ это значит, что вектор лежит в касательном пространстве $T_xM$. Как я уже нговорил, имеет место непонимание базовых конструкций.

[felixfix]

Red_Herring в сообщении #1035742 писал(а):

felixfix в сообщении #1035735 писал(а):

Мне собственно нужно решить задачу движения иона в цилиндрическом канале в условиях магнитного поля. В векторном виде задача выглядит просто $ma=q[Bv]$ где m - масса иона, а - традиционно ускорение (вектор), q - заряд, В - напряженность магнитного поля(вектор), v - скорость иона (вектор). Чтобы решить задачу нужно записать систему уравнений в проекциях на оси и вот как она будет выглядеть в цилиндрической системе координат, вопрос.

Является ли магнитное поле постоянным? Если да, то направлено ли оно вдоль оси канала?
Знаете ли Вы как ион движется в постоянном магнитном поле во всем пространстве?
А если не во всем пространстве, что происходит при соударении со стенками?

ПС Вам абсолютно не нужна цилиндрическая система координат в этой задаче

Известно, что магнитное поле обратно пропорционально радиусу канала. Само поле постоянно внутри канала. Ион залетает под некоторым углом к оси канала в канал и под действием магнитного поля, движение иона должно стать параллельным оси канала. Задача, определить длину канала при которой траектория в конце движения становится параллельной.

[Red_Herring]

felixfix в сообщении #1035747 писал(а):

Само поле постоянно внутри канала.

Постоянно—значит $B$ имеет постоянный вектор. Теперь ответьте на следующий вопрос:

Red_Herring в сообщении #1035742 писал(а):

Знаете ли Вы как ион движется в постоянном магнитном поле во всем пространстве?

[felixfix]

Red_Herring в сообщении #1035756 писал(а):

felixfix в сообщении #1035747 писал(а):

Само поле постоянно внутри канала.

Постоянно—значит $B$ имеет постоянный вектор. Теперь ответьте на следующий вопрос:

Red_Herring в сообщении #1035742 писал(а):

Знаете ли Вы как ион движется в постоянном магнитном поле во всем пространстве?

Вектор магнитного поля постоянен $B_r = \frac{1}{r}$, $B_{\varphi}=0$, $B_z=0$.
Что касается движения иона во всем пространстве, то теоретически оно известно. До входа в канал у иона прямолинейное движение, при входе в канал траектория будет иметь вид гиперболы по отношению к оси канала.

[Red_Herring]

felixfix в сообщении #1035773 писал(а):

До входа в канал у иона прямолинейное движение, при входе в канал траектория будет иметь вид гиперболы по отношению к оси канала.

Матчасть учите: в постоянном магнитном поле (и без электрического) заряженные частицы движутся по спирали: именно, вдоль поля движение равномерное, в перпендикулярном — равномерное по окружности.

Гуглините Движение частицы в магнитном поле.

В промежутках между ударами о стенки канала, двигаться она будет по спирали. Если ось канала параллельна магнитному полю, то может оказаться что частица не стукнется о стенки никогда. И так и будет двигаться по той же спирали.

\begin{tikzpicture}[scale=.5] \draw[ultra thick] (0,0) circle (3); \draw[red] (1,0) circle (1.5); \draw[red, ultra thick->] (2.5,0)--(2.5,0); \end{tikzpicture}
Движение в плоскости, перпендикулярной м.п. (и оси канала)

А что будет при ударе о стенку?

[Утундрий]

Какой интересный вектор. Одновременно и постоянный и обратно пропорциональный расстоянию до оси канала. Пора бы уже вектору определиться.