Ещё можно говорить (на жаргоне), что локальный базис откуда-то там торчит. И совершенно бессмысленно говорить о том, что откуда-то торчат раскладываемые по этому базису векторы.
Базис существует в касательном пространстве к многообразию, касательное пространство определено в каждой точке
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
многообразия , Вы наверное видели в учебниках встречается такой значок
![$T_xM$ $T_xM$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/b/21be3e1daddf69c26acba114f52f408582.png)
, это и есть касательное пространство к многообразию
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
в точке
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. В данном случае
![$M=\mathbb{R}^3$ $M=\mathbb{R}^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/3/713d54916fec585bb135358ebdad523682.png)
. А цилиндрические координаты это локальные координаты на этом многообразии. Векторы живут в касательных пространствах. Вектор торчит из точки
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
это значит, что вектор лежит в касательном пространстве
![$T_xM$ $T_xM$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/b/21be3e1daddf69c26acba114f52f408582.png)
. Как я уже нговорил, имеет место непонимание базовых конструкций.