2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:06 


03/06/12
209
По задаче есть вопросы, посмотрите, пожалуйста.

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что сумма дробей $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}$ — целое число. Докажите, что каждая из этих двух дробей есть целое число.

$\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}=\dfrac{(x^2-1)(x+1)+(y^2-1)(y+1)}{(y+1)(x+1)}$

Нам дано, что $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}=k$, где $k\in\mathbb{Z}$. Попробуем от противного. Пусть это не так. Тогда каждое из чисел $a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$ есть нецелые числа (только одно из них не может быть нецелым, потому как тогда сумма целого и нецелого будет нецелой, то противоречит условию). Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.
Предположим, что они рациональны. Значит они представимы в виде несократимых дробей $a=\dfrac{p}{q}$, $b=\dfrac{n}{m}$, где $q\ne 1$, $m\ne 1$.

$\dfrac{x^2-1}{y+1}=\dfrac{p}{q}$, $\dfrac{y^2-1}{x+1}=\dfrac{n}{m}$. При этом $\dfrac{pm+nq}{mq}=k\in\mathbb{Z}$

Заметим что в обоих выражениях есть взаимнообратные множители $\dfrac{x+1}{y+1}$ и $\dfrac{y+1}{x+1}$. Пока что на этом идеи у меня закончились в этой задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:13 
Заслуженный участник


12/09/10
1527
Сумма целая, а произведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:16 


03/06/12
209
Cash в сообщении #1034837 писал(а):
Сумма целая, а произведение?

Если $a+b=k$, то $a=k-b$, произведение $ab=b(b-k)$ Если $b$ не является целым, то и произведение не обязано быть целым. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1527
То что не обязано, нас ни к чему не обязывает и, соответственно, ничего не доказывает.
И что такое $a$ и $b$ собственно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:40 


03/06/12
209
$a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:45 
Заслуженный участник


12/09/10
1527
$ab=$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:49 


03/06/12
209
ole-ole-ole в сообщении #1034859 писал(а):
$a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$


$ab=\dfrac{x^2-1}{y+1}\cdot \dfrac{y^2-1}{x+1}=(x-1)(y-1)$

-- 08.07.2015, 22:50 --

Из того что сумма целая и из того что произведение целое --- из этого следует, что числа целые?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11799
Казань
ole-ole-ole в сообщении #1034830 писал(а):
Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 22:52 


03/06/12
209
$a+b=k, ab=n$, тогда $a=k-b$, тогда $(k-b)b=n$, значит $b$ -- целое. Вот только последние следствие пока не настолько очевидно.

То есть почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

-- 08.07.2015, 22:54 --

Можно попробовать от противного, но тогда получится, что произведение двух нецелых чисел. Но оно может быть и целым вполне.

-- 08.07.2015, 22:55 --

provincialka в сообщении #1034868 писал(а):
ole-ole-ole в сообщении #1034830 писал(а):
Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.

Почему?

Это я погорячился, далеко не факт)

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 23:00 
Заслуженный участник


12/09/10
1527
ole-ole-ole в сообщении #1034869 писал(а):
Это я погорячился, далеко не факт)


Почему?

-- Ср июл 08, 2015 23:05:04 --

ole-ole-ole в сообщении #1034867 писал(а):
Из того что сумма целая и из того что произведение целое --- из этого следует, что числа целые?

Для рациональных чисел - да. Может и не совсем очевидно, может и как-то потрудиться доказать придется (несильно), но а что хотели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11799
Казань
ole-ole-ole
Извините, что не заметила, что $x$ и $y$ по условию натуральные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение08.07.2015, 23:08 


03/06/12
209
Cash в сообщении #1034876 писал(а):
ole-ole-ole в сообщении #1034869 писал(а):
Это я погорячился, далеко не факт)


Почему?



Это я имел ввиду в общей формулировке, к этой задаче, как оказалось, не относится. Если $a+b$ целое, то нужно доказать, что $a$ и $b$ -- целые (я думал что в общем виде нужно доказать именно это, но потом понял, что это вовсе неверно). Там уж $a$ и $b$ могут быть иррациональные. То есть пусть $a=\pi$, тогда $b=k-\pi$. Вот и все) Вообщем, затупил я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение09.07.2015, 10:24 


03/06/12
209
Спасибо, я здесь все понял, кроме того -- почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение09.07.2015, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
ole-ole-ole в сообщении #1035066 писал(а):
почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

Чтобы не лезть глубже, заметьте всё же, что $b$ у вас рационально. Ну так представьте его в виде несократимой дроби, приведите к общему знаменателю, раскройте скобки, убедитесь в несократимости полученной дроби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые числа, сумма дробей.
Сообщение09.07.2015, 14:50 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
ole-ole-ole в сообщении #1035066 писал(а):
Спасибо, я здесь все понял, кроме того -- почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

Сумма - целое. Произведение - целое. Можно тождество вспомнить $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$ или теорему Виета.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group