Целые числа, сумма дробей.

[ole-ole-ole]

По задаче есть вопросы, посмотрите, пожалуйста.

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что сумма дробей $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}$ — целое число. Докажите, что каждая из этих двух дробей есть целое число.

$\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}=\dfrac{(x^2-1)(x+1)+(y^2-1)(y+1)}{(y+1)(x+1)}$

Нам дано, что $\dfrac{x^2-1}{y+1}+\dfrac{y^2-1}{x+1}=k$, где $k\in\mathbb{Z}$. Попробуем от противного. Пусть это не так. Тогда каждое из чисел $a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$ есть нецелые числа (только одно из них не может быть нецелым, потому как тогда сумма целого и нецелого будет нецелой, то противоречит условию). Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.
Предположим, что они рациональны. Значит они представимы в виде несократимых дробей $a=\dfrac{p}{q}$, $b=\dfrac{n}{m}$, где $q\ne 1$, $m\ne 1$.

$\dfrac{x^2-1}{y+1}=\dfrac{p}{q}$, $\dfrac{y^2-1}{x+1}=\dfrac{n}{m}$. При этом $\dfrac{pm+nq}{mq}=k\in\mathbb{Z}$

Заметим что в обоих выражениях есть взаимнообратные множители $\dfrac{x+1}{y+1}$ и $\dfrac{y+1}{x+1}$. Пока что на этом идеи у меня закончились в этой задаче.

[Cash]

Сумма целая, а произведение?

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1034837 писал(а):

Сумма целая, а произведение?

Если $a+b=k$, то $a=k-b$, произведение $ab=b(b-k)$ Если $b$ не является целым, то и произведение не обязано быть целым. Верно?

[Cash]

То что не обязано, нас ни к чему не обязывает и, соответственно, ничего не доказывает.
И что такое $a$ и $b$ собственно?

[ole-ole-ole]

$a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$

[Cash]

$ab=$ ?

[ole-ole-ole]

ole-ole-ole в сообщении #1034859 писал(а):

$a=\dfrac{x^2-1}{y+1}$ и $b=\dfrac{y^2-1}{x+1}$

$ab=\dfrac{x^2-1}{y+1}\cdot \dfrac{y^2-1}{x+1}=(x-1)(y-1)$

-- 08.07.2015, 22:50 --

Из того что сумма целая и из того что произведение целое --- из этого следует, что числа целые?

[provincialka]

ole-ole-ole в сообщении #1034830 писал(а):

Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.

Почему?

[ole-ole-ole]

$a+b=k, ab=n$, тогда $a=k-b$, тогда $(k-b)b=n$, значит $b$ -- целое. Вот только последние следствие пока не настолько очевидно.

То есть почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

-- 08.07.2015, 22:54 --

Можно попробовать от противного, но тогда получится, что произведение двух нецелых чисел. Но оно может быть и целым вполне.

-- 08.07.2015, 22:55 --

provincialka в сообщении #1034868 писал(а):

ole-ole-ole в сообщении #1034830 писал(а):

Как я понимаю, что $a$ и $b$ не могут быть иррациональными.

Почему?

Это я погорячился, далеко не факт)

[Cash]

ole-ole-ole в сообщении #1034869 писал(а):

Это я погорячился, далеко не факт)

Почему?

-- Ср июл 08, 2015 23:05:04 --

ole-ole-ole в сообщении #1034867 писал(а):

Из того что сумма целая и из того что произведение целое --- из этого следует, что числа целые?

Для рациональных чисел - да. Может и не совсем очевидно, может и как-то потрудиться доказать придется (несильно), но а что хотели?

[provincialka]

ole-ole-ole
Извините, что не заметила, что $x$ и $y$ по условию натуральные.

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1034876 писал(а):

ole-ole-ole в сообщении #1034869 писал(а):

Это я погорячился, далеко не факт)

Почему?

Это я имел ввиду в общей формулировке, к этой задаче, как оказалось, не относится. Если $a+b$ целое, то нужно доказать, что $a$ и $b$ -- целые (я думал что в общем виде нужно доказать именно это, но потом понял, что это вовсе неверно). Там уж $a$ и $b$ могут быть иррациональные. То есть пусть $a=\pi$, тогда $b=k-\pi$. Вот и все) Вообщем, затупил я.

[ole-ole-ole]

Спасибо, я здесь все понял, кроме того -- почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

[grizzly]

ole-ole-ole в сообщении #1035066 писал(а):

почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

Чтобы не лезть глубже, заметьте всё же, что $b$ у вас рационально. Ну так представьте его в виде несократимой дроби, приведите к общему знаменателю, раскройте скобки, убедитесь в несократимости полученной дроби.

[Andrey A]

ole-ole-ole в сообщении #1035066 писал(а):

Спасибо, я здесь все понял, кроме того -- почему из $(k-b)b=n$ при $k,n\in\mathbb{Z}$ следует, что $b\in\mathbb{Z}$

Сумма - целое. Произведение - целое. Можно тождество вспомнить $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$ или теорему Виета.