Теорема Ферма. Доказательство

[Валерий2]

Уважаемые оппоненты!
Уравнение (11)- вспомогательное. Нигде я не ссылаюсь
на его неразрешимость в целых числах. Я «рассматриваю уравнение(11)».
Почему-то у Вас не возникает вопросов по уравнениям (14)-(18), а ведь они получены из того же (11) и из них следует, что если уравнение (16) выполнимо в целых числах x,y,z, то для любого простого n найдётся уравнение

\[ x^n + y^n = z^n + k_n \]

, состоящее из ТЕХ ЖЕ x,y,z, где

\[ z^n \]

и

\[ k_n \]

должны быть взаимно простыми.
Как только я перехожу к уравнению (19), Вы сразу же говорите о квадратах чисел x,y,z.
А представление ТОГО ЖЕ уравнения (11) в виде (19) и далее приводит ТОЛЬКО к НЕВОЗМОЖНОСТИ существования взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k_2 \]

, т.к.

\[ z^2 \]

и

\[ k_2 \]

должны иметь общий делитель q.

[Коровьев]

Повторно.
Докажите утверждение именно для $n=3$. С нуля. Без всяких ссылок на предыдущее.
$x^3+y^3=z^3$
$x, y, z$ - не являются квадратами целых чисел.
Итак, начали...

[Asalex]

Валерий,я Вам задал конкретные вопросы. Дайте пожалуйста на них конкретные ответы

[shwedka]

Коровьев
Asalex Извините, что вмешиваюсь.

Валерий2
Вам никто не поверит, если Вы по-прежнему будете обозначать разные объекты одинаковыми буквами.

В уравнениях x^{2n}+y^{2n}=z^{2n} и x^{n}+y^{n}=z^{n}
x,y,z РАЗНЫЕ,
потому используйте РАЗНЫЕ буквы.
И объясните случай n=3 сначала, когда
$x, y, z$ - не являются квадратами целых чисел.

[Валерий2]

Коровьев писал(а):

Повторно.
Докажите утверждение именно для $n=3$. С нуля. Без всяких ссылок на предыдущее.
$x^3+y^3=z^3$
$x, y, z$ - не являются квадратами целых чисел.
Итак, начали...

Приведу некоторые уравнения, на которые буду ссылаться.

\[ x + y = z + k \]

(1.1)
Вторая степень этого уравнения в виде:

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k) \]

(1.2)
Третья степень этого уравнения в виде:

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3(x - k)(y - k)(x + y) \]

(1.3)

\[ x^{2 \cdot 3} + y^{2 \cdot 3} = z^{2 \cdot 3} \]

(1.4)
Представим уравнение (1.4) в виде:

\[ (x^3 )^2 + (y^3 )^2 = (z^3 )^2 \]

(1.5)
Обозначим:

\[ x^3 = x_{^3 } ,y^3 = y_3 ,z^3 = z_3 \]

(1.6)
Уравнение (1.5) принимает вид:

\[ (x_{^3 } )^2 + (y_{^3 } )^2 = (z_{^3 } )^2 \]

(1.7)
Пусть

\[ x^2 + y^2 = z^2 \]

(1.8)
Тогда найдётся k такое, что выполняются уравнения (1.1),(1.3).
С учётом обозначений (1.6) уравнение (1.3) примет вид:

\[ x_{^3 } + y_3 = z_{^3 } + k_3 \]

(1.9)
где

\[ k_3 = k^{_3 } - 3(x - k)(y - k)(x + y) \]

(1.10)
Обратимся к уравнению (1.7). Для существования решения уравнения второй степени по аналогии с (1.8) должно существовать

\[ k_3 \]

такое,что

\[ x_{^3 } + y_3 = z_{^3 } + k_3 \]

(1.11)
А теперь сравним уравнение (1.9), полученное из третьей степени уравнения (1.1), и уравнение (1.11), полученное из уравнения (1.7). Они идентичны.
Т.е., если есть тройка взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих условию (1.8), то при ЭТИХ ЖЕ x,y,z согласно уравнениям (1.11)-(1.9),(1.7) найдётся такое

\[ k_3 \]

, что

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k_3 \]

(1.12)
Таким образом, уравнение(1.7) при выполнении условия (1.8)-это всего лишь вспомогательное уравнение, показывающее возможность существования при определённых условиях третьей степени уравнения (1.1).Не более того!
А теперь рассмотрим Ваш случай:
Пусть

\[ x^3 + y^3 = z^3 \]

(1.13)
Найдётся k такое, что выполняются уравнения (1.1), (1.2).
Обозначим

\[ x^2 = x_2 ,y^2 = y_2 ,z^2 = z_2 \]

(1.14)
Уравнение (1.2) примет вид:

\[ x_2 + y_2 = z_2 + k_2 , \]

(1.15)
где

\[ k_2 = k^{_2 } - 2(x - k)(y - k) \]

(1.16)
Представим уравнение (1.4) в виде:

\[ (x^2 )^3 + (y^2 )^3 = (z^2 )^3 \]

(1.17)
С учётом (1.14):

\[ (x_{^2 } )^3 + (y_{^2 } )^3 = (z_{^2 } )^3 \]

(1.18)
Для существования решения уравнения (1.18) должно существовать

\[ k_2 \]

такое, что

\[ x_{^2 } + y_{^2 } = z_{^2 } + k_2 \]

(1.19)
А теперь сравним уравнения (1.15), полученное из второй степени уравнения (1.1), и (1.19), полученное из (1.17). Они идентичны. Т.е., если есть тройка взаимно простых x,y,z , удовлетворяющих уравнению (1.13), то при ЭТИХ ЖЕ
x,y,z должно существовать такое

\[ k_2 \]

, что

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k_2 \]

(1.20)
Но из уравнения (1.18) следует, что

\[ z_{^2 } \]

и

\[ k_2 \]

должны иметь общий делитель q. При этом на q должна делиться сумма

\[ x^2 + y^2 \]

, что невозможно, т.к.на q делится

\[ x + y \]

Таким образом, существование тройки взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1.13), невозможно.
Рассуждения, аналогичные приведённым выше, справедливы для любого простого

\[ n \ge 3 \]

. Поэтому теорему Ферма можно считать доказанной.

Добавлено спустя 13 минут 14 секунд:

Asalex писал(а):

Валерий,я Вам задал конкретные вопросы. Дайте пожалуйста на них конкретные ответы

Уважаемый Asalex, с удовольствием отвечу на Ваши вопросы. Но сейчас цейтнот. Часть ответов, быть может, найдёте в сообщении на этом форуме "Большая теорема Ферма.Маленькое доказательство".

[shwedka]

Валерий2
опять, в (1.13) и (1.17)
x,y,z одни и те же или разные?
Если одни и те же, то почему?.
Если разные, то какие из них сидят в (1.20)??

[bot]

Всем, кроме автора очевидно, что переобозначениями добиться ничего нельзя - разве что запутаться в них. Это же надо даже в кубе показатель вниз спустить!
Ну, если захотеть, то и куб переменной можно рассматривать как новую переменную, только зачем показатель вниз спускать - смотрите на него, как на верхний индекс и все дела. А потом ещё появляется $k_3$, которое в отличие от $x_3$ вовсе даже и не куб - во всяком случае этого не видно.
Пропустил всё это и заглянул в конец:

Валерий2 писал(а):

При этом на q должна делиться сумма

\[ x^2 + y^2 \]

, что невозможно, т.к.на q делится

\[ x + y \]

Пусть q=2, а x, y - оба нечётные, если надо, пусть взаимно простые.

[shwedka]

bot

Цитата:

Пусть q=2, а x, y - оба нечётные, если надо, пусть взаимно простые.

При всем почтении,
если x,y разной четности, то Валерий2 прав (в этом месте).

[Валерий2]

bot писал(а):

Всем, кроме автора очевидно, что переобозначениями добиться ничего нельзя - разве что запутаться в них. Это же надо даже в кубе показатель вниз спустить! :D
Ну, если захотеть, то и куб переменной можно рассматривать как новую переменную, только зачем показатель вниз спускать - смотрите на него, как на верхний индекс и все дела. А потом ещё появляется $k_3$, которое в отличие от $x_3$ вовсе даже и не куб - во всяком случае этого не видно.
Пропустил всё это и заглянул в конец:

Валерий2 писал(а):

При этом на q должна делиться сумма

\[ x^2 + y^2 \]

, что невозможно, т.к.на q делится

\[ x + y \]

Пусть q=2, а x, y - оба нечётные, если надо, пусть взаимно простые.

Уважаемый bot!
Всё дело в том, что Вы всё "пропускаете"!Попробуйте вооружиться хотя бы карандашом и НИЧЕГО не пропускать!

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

shwedka писал(а):

Валерий2
опять, в (1.13) и (1.17)
x,y,z одни и те же или разные?
Если одни и те же, то почему?.
Если разные, то какие из них сидят в (1.20)??

Уважаемая shwedka!Спасибо за небольшую, но поддержку. Жаль, что Вы тоже не очень внимательно читаете комментарии. Во всех формулах "сидят" одни и те же взаимно простые x,y,z.

[TOTAL]

Валерий2 писал(а):

Уважаемая shwedka!Спасибо за небольшую, но поддержку. Жаль, что Вы тоже не очень внимательно читаете комментарии. Во всех формулах "сидят" одни и те же взаимно простые x,y,z.

Цитата:

\[x^3 + y^3 = z^3 \]

(1.13)

\[(x^2 )^3 + (y^2 )^3 = (z^2 )^3\]

(1.17)

Это как же надо обдрессировать взаимно простые x,y,z, чтобы они исполняли команду "сидеть" сразу в (1.13) и в (1.17)!

[PAV]

Валерий2, равенства (1.13) и (1.17) одновременно для одних и тех же чисел выполняться не могут.
Доказательство этого факта Brukvalub приводил одному Вашему коллеге здесь.

[shwedka]

Валерий2

Цитата:

$x^3 + y^3 = z^3 (1.13)\\ (x^2 )^3 + (y^2 )^3 = (z^2 )^3(1.17)$

Присоединяюсь к возмущенным коллегам.

[bot]

shwedka писал(а):

bot

Цитата:

Пусть q=2, а x, y - оба нечётные, если надо, пусть взаимно простые.

При всем почтении,
если x,y разной четности, то Валерий2 прав (в этом месте).

Мог пропустить, так как читал по диагонали. Проверил на всякий случай - нет этого ограничения в тексте. Так что моё возражение к цитированному тексту не опровергнуто. Возможно это обсуждалось ещё раньше или это есть договорённость рассмотреть только случай разночётности x и y. Тогда что стоило автору вставить одно лишь слово просто для того, что начинающий с этого места читатель мог обсуждать хотя бы этот кусок?

Валерий2 писал(а):

Попробуйте вооружиться хотя бы карандашом и НИЧЕГО не пропускать!

Попробовал. С учётом обозначения для новой переменной k согласно (1.1) равенства (1.2) и (1.3) - это тождества. Далеее следует равенство (1.4) относительно которого не декларировано никаких намерений. Вы собираетесь доказывать, что такое уравнение неразрешимо или что? А ещё дальше имеется уравнение (1.8). Вы собираетесь рассматривать эти два уравнения совместно как систему?
Она очевидно неразрешима даже для действительных значений переменных, отличных от нуля.
Вот только к ВТФ это не имеет никакого отношения - в ней одно уравнение.

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Во, пока писал, уже это же самое, но гораздо короче, написали другие. Впрочем я не предполагал, что мое бредовое предположение оказалось верным.

[Валерий2]

TOTAL писал(а):

Валерий2 писал(а):

Уважаемая shwedka!Спасибо за небольшую, но поддержку. Жаль, что Вы тоже не очень внимательно читаете комментарии. Во всех формулах "сидят" одни и те же взаимно простые x,y,z.

Цитата:

\[x^3 + y^3 = z^3 \]

(1.13)

\[(x^2 )^3 + (y^2 )^3 = (z^2 )^3\]

(1.17)

Это как же надо обдрессировать взаимно простые x,y,z, чтобы они исполняли команду "сидеть" сразу в (1.13) и в (1.17)!

Уважаемые оппоненты!
Да рассмотрите Вы ход рассуждения, начиная с (1.4), по (1.12)!
Уравнение (1.17)-вспомогательное, как и (1.5).Для этого я делал обозначения с подстрочным индексом. Прочтите, пожалуйста, фразу после уравнения (1.12)! А то Вы выдёргиваете отдельные уравнения и говорите, чтло этого не может быть. Ещё раз: уравнение (1.17)-вспомогательное, показывающее ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ при ОПРЕЖДЕЛЁННЫХ УСЛОВИЯХ второй степени уравнения (1.1), не более того!

[shwedka]

Оно может сколько угодно быть вспомогательным, но с основным уравнением оно несовместимо, поэтому оно никогда ничего никому не скажет о свойствах основного уравнения. никакой возможности для основного уравнения показать не может

Поясняю еще раз. если числа x,y,z удовлетворяют 1.17, то они заведомо не удовлетворяют 1.13,
поэтому любые их свойства не имеют ни малейшего отношения к решениям 1.13.