Уравнение в целых числах

[ole-ole-ole]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с уравнением в целых числах.

$7x^2+11=15y^2$

Есть такие наброски: Если $y$ достаточно велико, то $x>y$. Квадрат целого числа может оканчиваться на $0,1,4,5,6,9$.
Тогда $7x^2$ может оканчиваться на $0, 7, 8,5, 2, 3$, тогда $7x^2+11$ может оканчиваться на $1,8,9,6,3,4$. Ясно, что $y^2$ может оканчиваться на $0,1,4,6,9$.
Пересечением последних двух множеств являются элементы $1,4,6,9$. Это значит, что $y^2$ будет заканчиваться $1,4,6,9$, при этом $x^2$ будет оканчиваться на $0,4,5,9$.
Пока что только так удалось сузить область поиска. Но как дальше?

[Cash]

$x^2$ и $y^2$ - хорошо. Но на что оканчиваются левая и правая части уравнения? Кстати, что в правой части? Где $y$?

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1034727 писал(а):

$x^2$ и $y^2$ - хорошо. Но на что оканчиваются левая и правая части уравнения? Кстати, что в правой части? Где $y$?

$y$ в правой части. А насчет этого как раз писал в стартпосте "Но на что оканчиваются левая и правая части уравнения?"

[Cash]

Ок. Чему равна правая часть уравнения?

[grizzly]

ole-ole-ole в сообщении #1034731 писал(а):

А насчет этого как раз писал в стартпосте "Но на что оканчиваются левая и правая части уравнения?"

Я Вам вчера по этой задаче 2 вопроса задал; так Вы, похоже, только один из них осилили :)

[B_u_b_a]

ole-ole-ole в сообщении #1034723 писал(а):

Ясно, что $y^2$ может оканчиваться на $0,1,4,6,9$.

Еще 5 попустили.

ole-ole-ole в сообщении #1034723 писал(а):

Пересечением последних двух множеств являются элементы $1,4,6,9$.

Тогда уж искать с пересечением множества последних цифр числа $15y^2$, а не $y^2$.

[ole-ole-ole]

Исправляюсь:

Квадрат целого числа может оканчиваться на $0,1,4,5,6,9$.
Тогда $7x^2$ может оканчиваться на $0, 7, 8, 5, 2, 3$, тогда $7x^2+11$ может оканчиваться на $1,8,9,6,3,4$. Ясно, что $15y^2$ может оканчиваться на $0,5$.
Пересечением последних двух множеств являются элементы $0,5$. Но пока что это ничего не дает вроде как.
Только то, что левая часть при делении на 5 будет иметь остаток 1.

[Otta]

ole-ole-ole в сообщении #1034817 писал(а):

Пересечением последних двух множеств являются элементы $0,5$.

Поясните, пожалуйста, эту мысль подробнее. Каких, собственно, множеств?

[ole-ole-ole]

Ой, у них нет пересечений вовсе. Значит у уравнения нет решения в целых числах, верно?

[Otta]

Верно.

[Cash]

Добавлю, что если рассматривать по модулю $5$, а не $10$ - считать поменьше бы пришлось.

[ole-ole-ole]

Спасибо большое, понятно!