Задачи на целые числа.

[ole-ole-ole]

Здравствуйте! Не получается решить задачу.

Даны $17$ натуральных чисел $a_1, a_2, . . . , a_{17}$. Известно, что $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_4} =... = a_{17}^{a_2}$ . Докажите, что $a_1=a_2=...=a_{17}$

Пробовал по индукции. База: для двух чисел: $a_1^{a_2}=a_2^{a_1}$. Но сразу же нашел контр-пример. $2^4=4^2$. Значит тут индукция не годится. Потом от противного пробовал, что-то тоже пока что тупик. Можете подсказать идею, пожалуйста!

[Cash]

Попробуйте для трёх чисел.

[ole-ole-ole]

$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_1} $ А как проверить?

[Cash]

Проверить что?
Поиграйте в больше-меньше. Пусть $a_1>a_2>1$, тогда расставьте знаки $a_2\vee a_3$ и $a_3 \vee a_1$

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1034764 писал(а):

Проверить что?
Поиграйте в больше-меньше. Пусть $a_1>a_2>1$, тогда расставьте знаки $a_2\vee a_3$ и $a_3 \vee a_1$

Если $a_1>a_2>1$, то из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$, с учетом $a_1>a_2$, получаем $a_1>a_3$

Используя $a_2>a_3$ в равенстве $ a_2^{a_3}=a_3^{a_1} $, получаем, что $a_3>a_1$. Получаем противоречие.

Значит неравенство $a_1>a_2>1$ невозможно.

Если $a_i>a_k>1$ ($i=1,23$, $k=1,2,3$, i\ne k$), то рассуждения проводятся аналогично, там все симметрично (если сделать переобозначения, будет то же)

Так как у нас числа натуральные, то осталось рассмотреть ситуацию, когда

$a_1>a_2=1$

Получаем $a_1^{1} = 1^{a_3} $, что невозможно.

Пришли к противоречию. Значит равенство $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_1} $ имеет место только для $a_1=a_2=a_3$. База проверена.

Далее делаем переход, пусть для $n=k$ из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =...=a_k^{a_1}$ следует, что $a_1=a_2=...=a_k$.

Проверим, будет ли следовать из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =...=a_k^{a_{k+1}}=a_{k+1}^1$ равенство $a_1=a_2=...=a_{k}=a_{k+1}$

Давайте опять от противного. Можно взять тройку последних чисел $a_{k-1},a_k, a_{k+1}$, там доказывается аналогично базе, если просто переобозначить индексы. Верно ли?

[Cash]

Не надо индукцию. Все дело в четности количества чисел.

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1034831 писал(а):

Не надо индукцию. Все дело в четности количества чисел.

А нужно индукцию по нечетным числам или как? Или совсем не надо индукцию? Если не индукция, то что ?)

[Cash]

То же самое, как для 3, только чисел поболе. Начинайте расставлять знаки больше-меньше.

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1034848 писал(а):

То же самое, как для 3, только чисел поболе. Начинайте расставлять знаки больше-меньше.

Сразу для 17 чисел или постепенно, начиная с 5, затем 7, 9, ..., 17?

[Cash]

Как хотите. В задачах главное - на месте не стоять.

[ole-ole-ole]

Взяли мы три числа. $a_1,a_2,a_3$ для них доказали. Потом взяли $a_3, a_4, a_5$. для них тоже самое с точностью до переобозначений, тогда для $a_1,..., a_5$ выполнено. Двигаемся дальше. Для $a_5,a_6,a_5$, там аналогично. Далее доходим до $a_{17}$ такими же шагами по два. Верно?

[Cash]

В случае количества чисел больше 3, мы пока ничего не доказали, потому что когда доказывали, то было $a_3^{a_1}$, а сейчас $a_3^{a_4}$

[ole-ole-ole]

Хорошо, попробую для пяти.

$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_4}=a_4^{a_5}=a_5^{a_1} $

Пусть у нас вышло так, что не все числа равны.

давайте рассмотрим первый случай, когда $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ расположены в порядке убывания.

Если $a_1>a_2>...>a_5>1$, то из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$, с учетом $a_1>a_2$, получаем $a_1>a_3$

Используя $a_2>a_3$ в равенстве $ a_2^{a_3}=a_3^{a_4} $, получаем, что $a_3>a_4$.

Используя $a_3>a_4$ в равенстве $ a_3^{a_4}=a_4^{a_5} $, получаем, что $a_4>a_5$.

Используя $a_4>a_5$ в равенстве $ a_4^{a_5}=a_5^{a_1} $, получаем, что $a_5>a_1$.

Получаем противоречие.


Значит неравенство $a_1>a_2>...>a_5>1$ невозможно.

Но есть же еще куча других случаев $5!=120$, не всегда же будет порядок убывания. Пока что не понимаю -- как их правильно описать.

[provincialka]

ole-ole-ole в сообщении #1034908 писал(а):

Но есть же еще куча других случаев, не всегда же будет порядок убывания

А вы и не использовали такое жесткое требование в доказательстве! Посмотрите на него внимательнее

[ole-ole-ole]

provincialka в сообщении #1034911 писал(а):

ole-ole-ole в сообщении #1034908 писал(а):

Но есть же еще куча других случаев, не всегда же будет порядок убывания

А вы и не использовали такое жесткое требование в доказательстве! Посмотрите на него внимательнее

А ну да, точно. Тогда с доказательством все понятно. Только там нужно было лучше нестрогий знак неравенства ставить?