Позняк, Шикин, транспонирование тензора

[fronnya]

Читаю эту книгу, по дифгему, глава "Основы тензорного исчисления", затруднение с определением транспонирования тензора. Не понимаю, как работает подстановка $\sigma$ которую приводит автор. Точнее, на первом скриншоте все ясно



А вот дальше

В первом случае понятно, как сработала подстановка, все нижние индексы заменились на те же самые, только r-тый и s- тый в другом порядке идут. А на второй картинке, как это понимать?

[mihailm]

Возьмите произвольный пример, и давайте на нем рассмотрим процедуру

[fronnya]

Хорошо, вот пусть $T_{ijklm}$- тензор, а вот $'T_{ikjlm}$ транспонированный. Индексы $j$ и $k$ переставлены. Переставим теперь 4 индекса $i$ на место $j$, а $l$ на место $m$, получим $''T_{jiklm}$-тензор. А не соседние переставлять можно?

[ИСН]

Можно. Астахов разрешил.

[arseniiv]

Конечно. Ещё первый вариант транспонирования предполагает, что можно переставлять несоседние. Второй — это просто композиция какого-то числа первых, т. к. любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций (перестановок, меняющих местами ровно два элемента).

Например, перестановка $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ порождает транспонирование $T\mapsto T'$, $T'_{ijklm} = T_{jlikm}$.

[fronnya]

ИСН в сообщении #1034781 писал(а):

Можно. Астахов разрешил.

Я сообразил, хотел написать, но вырубился интернет. Ну окей.
Тогда ещё сделаем вот такую перестановку $ijklm \to klijm$: $'''T_{klijm}$. Так вот понятно. И что дальше?

-- 08.07.2015, 19:22 --

arseniiv в сообщении #1034782 писал(а):

т. к. любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций

я не знаю, что это, но попробую предположить: это что-то типа последовательных перестановок соседних элементов?

[ИСН]

Прекратите вообще думать слово "соседних". Нет никаких соседних. Что буковки на листе бумаги являются соседними - это ничего не значащая условность.

[arseniiv]

fronnya в сообщении #1034783 писал(а):

я не знаю, что это

Если вы про произведение, то мне действительно стоило написать вместо него «композиция». Перестановка — это взаимно однозначная функция (биекция) на конечном множестве, композиция понимается как обычная композиция функций. Множество всех биекций фиксированного множества образует группу по композиции (симметрическая группа) — вот и говорят часто об умножении перестановок.

Если про транспозицию — я в скобочках там написал, что это, и в её определении не встречаются никакие «соседние» элементы.

[fronnya]

Ну ладно, я так понял, это все вводится ради короткой записи, на практике не будет такое встречаться или редко..

[arseniiv]

Насколько понимаю, тут просто вводится операция, превращающая тензор во что-то, что потом доказывается являющимся тоже тензором. Тогда даже понятно, почему транспонирование двух видов: если доказать, что транспонирование транспозицией делает из тензора тензор, то транспонирование любой перестановкой будет давать тензор из упомянутой разложимости перестановки на транспозиции.

-- Ср июл 08, 2015 23:18:13 --

После этого можно менять индексы как угодно, не боясь получить из тензора не-тензор.

[Munin]

fronnya в сообщении #1034804 писал(а):

на практике не будет такое встречаться или редко..

Перестановка индексов встречается постоянно.

arseniiv в сообщении #1034808 писал(а):

После этого можно менять индексы как угодно, не боясь получить из тензора не-тензор.

Напоминаю, нельзя менять верхние с нижними.

[arseniiv]

А, ну да. Тут просто речь шла всё время про нижние, вот я и даже не подумал дописать.

[fronnya]

Munin, я не про перестановку индексов, а про те обозначения, которые введены здесь

[ИСН]

Тоже не так. Математическая нотация - это чудовищная иерархия сокращений от сокращений от сокращений от сокращений (иначе ничего содержательного нельзя было бы толком выразить), и Вы в самом её начале. Дальше хуже.

[Munin]

fronnya в сообщении #1035090 писал(а):

Munin, я не про перестановку индексов, а про те обозначения, которые введены здесь

А это постоянно встречается в учебниках. В разных местах, разумеется. Привыкайте тоже.