Расскажу зачем мне всё это надо, может тогда что-то прояснится.
При нахождении средних расстояний (квадратов, кубов, расстояний в минус первой степени,..., десятой и т.п.) электронов в водородоподобных атомах (а также в других задачах на интенсивности спектральных линий переходов в атомах, др. задачах) приходится вычислять интегралы вида

, где

(*) и

-присоединенные полиномы Лагерра. По-школьному, "норма" уже не выходит. В литературе встретилась со следующими определениями

,

(Эрик В. предлагает еще третье, суть первое, поделенное на

, но в то время я с его сайтом еще не была знакома). И когда разбиралась, позарилась сразу на первое, потому что искомые интегралы сразу упрощаются

(интегрируя

раз по частям). Легко посчитала для функций:
1)

:

;
2)

:

.
Тогда вычисления интегралов, содержащих квадраты полиномов, можно осуществлять выражая один из полиномов через обобщенный гипергеометрический ряд

и когда

- полином степени больше

, то

.
Например, для

получится
![$$I = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s+1}\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p!\Gamma(s+p+1)(2p+s+1)$$ $$I = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s+1}\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p!\Gamma(s+p+1)(2p+s+1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/8/f483ea713c241eda63f2791d8a5716f582.png)
.
Далее, я проверила для некоторых конкретных функций

, и эти самые средние расстояния

получаются одинаковыми (и зависят только от квантовых чисел

и

) независимо от определения и ур-ния полиномов, как и должно быть физически.
Т.о. задача была решена, НО по сей день меня этот вопрос интересует. Потому что "второе" определение намного чаще встречается в библиографии. Потому что очень неудобно начинать "переводить из одной системы в другую". Есть некоторое облегчение - для этих

из ур-ния для волновой функции получается рекурентное соотношение, т.е. можно посчитать какое-нибудь

и получать последующие

,

, НО при некоторых определенных

у-ние вырождается (зануляются коэффициенты в слагаемых) и не дает никакого нового

. Так что остается открытым вопрос вычисления

для (*),

,

для "второго определения" (или хотя бы метод) в наиболее общем виде (насколько это возможно). Вот и подумала, может кто с мат. физикой работает, может кто знает, где об этом почитать, может такое посчитает Mathematica...(Я не помню, что делала, но сразу не вышло и я перешла к другому определению.) Cобственно всё.