Интегралы с присоединенными полиномами Лагерра.

[maxal]

LynxGAV писал(а):

В литературе встретилась со следующими определениями

$$L_p^s(x) = \frac{e^x}{x^s}\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}{x^{s+p}}$$

,

$$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$

MathWorld дает первое определение: http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html формула (13) и дальше.

LynxGAV писал(а):

Т.о. задача была решена, НО по сей день меня этот вопрос интересует. Потому что "второе" определение намного чаще встречается в библиографии. Потому что очень неудобно начинать "переводить из одной системы в другую".

Тогда, возможно, имеет смысл свести задачу к уже решённой, а именно выразить "второе определение" (я буду его обозначать со штрихом) через первое:

$$L'_p^s(x) = \sum_{t=0}^s \binom{s}{t} x^{-t} L_{p+t}^{-t}(x)$$

Или вот явное выражение

$$L'_p^s(x) = \sum_{j=0}^{p-s} \binom{p}{j+s} \frac{p!}{j!} (-1)^{j+s} x^j$$

.