Интегралы с присоединенными полиномами Лагерра.

[LynxGAV]

Интересует вычисление интегралов вида

$$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx$$

, где

$$L_p^s(x)$$

- присоединенные полиномы Лагерра, определенные как

$$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$

. Функция$f(x)$, в частности, может быть

$$f(x) = x^rL_p^s(x)$$

. Такое случаем не вычисляется в Маple, других программах? Какая литература (не просто с рекурентными соотношениями) есть по этому поводу?

[Someone]

LynxGAV писал(а):

Интересует вычисление интегралов вида

$$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx$$

, где

$$L_p^s(x)$$

- присоединенные полиномы Лагерра, определенные как

$$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$

. Функция$f(x)$, в частности, может быть

$$f(x) = x^rL_p^s(x)$$

. Такое случаем не вычисляется в Маple, других программах? Какая литература (не просто с рекурентными соотношениями) есть по этому поводу?

Wolfram Mathematica:

$$\int_0^{+\infty}x^{10}e^{-x}(LaguerreL[9,3,x])^2dx=89838506419200$$

Здесь $LaguerreL[9,3,x]$ - это $L_9^3(x)$.

[LynxGAV]

Я немного не это имела ввиду. При интегрировании меня интересует получение некого общего выражения, зависящего от $s$ и $p$.
Конкретно для

$$f(x) = L_p^s(x)$$

посчитала вручную

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^s\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p! \Gamma(s+p+1)$$

.
Сегодня разбиралась c "Mathematicа". При

Integrate[LaguerreL[p, s, x]^2Exp[-x]x^s, {x, 0, Infinity}]

выдает легкий бред, а точнее не то, что мне нужно. При конкретных $s$ и $p$ всё норм. Но численное интегрирование не решает всю проблему
Mожет я чего недопонимаю, полдня для изучения такой прогр. явно не достаточно

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

посчитала вручную

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^s\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p! \Gamma(s+p+1)$$

.

У меня получилось $I = \frac{(s+p)!}{p!} = \frac{\Gamma(s+p+1)}{p!}$. Сверим часы ?

Mathematica в общем виде не берет, что наводит на разные мысли. При конкретном $p$, однако, ответ можно получить как функцию $s$, хотя и с трудом. Вопрос: что меняется? Все?.

[LynxGAV]

незванный гость писал(а):

:evil:
У меня получилось $I = \frac{(s+p)!}{p!} = \frac{\Gamma(s+p+1)}{p!}$. Сверим часы ?

Расхождение в ответе очевидно из-за определения обобщенных полиномов. (Я по дороге п-факториалы не теряю и не подбираю ) Каким определением Вы пользовались? Таким как я дала вначале

$$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$

? Или тем, что, например, предлагает Эрик В.? Выясним сначала это, ОК?

незванный гость писал(а):

Mathematica в общем виде не берет, что наводит на разные мысли. При конкретном $p$, однако, ответ можно получить как функцию $s$, хотя и с трудом.

Наводит на мысли, что не может найти первообразную.
При конкретном $p$ вылазят Г-функции, это уже что-то похожее на правду, но все равно абракадабра.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

Расхождение в ответе очевидно из-за определения обобщенных полиномов.

Хорошо

[LynxGAV]

Расскажу зачем мне всё это надо, может тогда что-то прояснится.
При нахождении средних расстояний (квадратов, кубов, расстояний в минус первой степени,..., десятой и т.п.) электронов в водородоподобных атомах (а также в других задачах на интенсивности спектральных линий переходов в атомах, др. задачах) приходится вычислять интегралы вида

$$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx$$

, где

$$f(x) = x^rL_p^s(x)$$

(*) и

$$L_p^s(x)$$

-присоединенные полиномы Лагерра. По-школьному, "норма" уже не выходит. В литературе встретилась со следующими определениями

$$L_p^s(x) = \frac{e^x}{x^s}\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}{x^{s+p}}$$

,

$$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$

(Эрик В. предлагает еще третье, суть первое, поделенное на $p!$, но в то время я с его сайтом еще не была знакома). И когда разбиралась, позарилась сразу на первое, потому что искомые интегралы сразу упрощаются

$$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx = (-1)^p\int_{0}^{\infty}x^{p+s}e^{-x}f^{(p)}(x)dx$$

(интегрируя $p$ раз по частям). Легко посчитала для функций:
1)

$$f_1(x) = e^{(1-a)x}$$

:

$$I_1 = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f_1(x)dx = \frac{(a-1)^p}{a^{s+p+1}}\Gamma(s+p+1)$$

;
2)

$$f_2(x) = x^r$$

:

$$I_2 = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f_2(x)dx = (-1)^{p}r(r-1)\cdot\cdot(r-p+1)\Gamma(s+r+1)$$

.
Тогда вычисления интегралов, содержащих квадраты полиномов, можно осуществлять выражая один из полиномов через обобщенный гипергеометрический ряд

$$L_p^s(x) =(-1)^p\left(x^p - \frac{p}{1}(s+p)x^{p-1} + \frac{p(p-1)}{1\cdot2}(s+p)(s+p-1)x^{p-2} + ... + (-1)^p(s+p)\cdot\cdot(s+1)\right)$$

и когда

$$f(x)$$

- полином степени больше $p$, то $I = 0$.
Например, для

$$f(x) = xL_p^s(x) = (-1)^p\left(x^{p+1} - p(s+p)x^p + ...\right)$$

получится

$$I = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s+1}\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p!\Gamma(s+p+1)(2p+s+1)$$

.
Далее, я проверила для некоторых конкретных функций

$$f(x)$$

, и эти самые средние расстояния $<r^{k}>$ получаются одинаковыми (и зависят только от квантовых чисел $p$ и $s$) независимо от определения и ур-ния полиномов, как и должно быть физически.
Т.о. задача была решена, НО по сей день меня этот вопрос интересует. Потому что "второе" определение намного чаще встречается в библиографии. Потому что очень неудобно начинать "переводить из одной системы в другую". Есть некоторое облегчение - для этих $<r^{k}>$ из ур-ния для волновой функции получается рекурентное соотношение, т.е. можно посчитать какое-нибудь $<r^k>$ и получать последующие $<r^{k+1}>$, <r^{k-1}>$, НО при некоторых определенных $k$ у-ние вырождается (зануляются коэффициенты в слагаемых) и не дает никакого нового < r >$. Так что остается открытым вопрос вычисления $I$ для (*), $I_1$, $I_2$ для "второго определения" (или хотя бы метод) в наиболее общем виде (насколько это возможно). Вот и подумала, может кто с мат. физикой работает, может кто знает, где об этом почитать, может такое посчитает Mathematica...(Я не помню, что делала, но сразу не вышло и я перешла к другому определению.) Cобственно всё.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

В литературе встретилась со следующими определениями

$$L_p^s(x) = \frac{e^x}{x^s}\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}{x^{s+p}}$$

,

$$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$

(Эрик В. предлагает еще третье, суть первое, поделенное на $p!$, но в то время я с его сайтом еще не была знакома).

Вы все-таки проверьте Ваше определение номер 2. Оно плохо согласуется с определением 1. Мне кажется, у Вас должно быть что-то вроде ${\bf (-1)^s} {\bf {\frac{p!}{(p+s)!}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^{\bf\it p+s}e^{-x}x^{\bf p+s}$ (изменения выделены жирным шрфтом). Бог с ней, с константой ${(-1)^s} \frac{p!}{(p+s)!} $, но $p+s$ определяет степень полинома.

[LynxGAV]

Незванный гость! Это не моё определение. Я как-то стараюсь не выдумывать там, где это ненужно..Вот отсканила из книги (уже убрала). Сказать, что там очепятки тоже нельзя, потому что выводятся некоторые соотношения, хорошо согласующиеся со всем, что я до этого видела. Причем, смотрите, для $s = 0$ обычные полиномы совпадают. Для присоединенных же, понятно, и уравнения будут отличаться.

[LynxGAV]

Прикинула..Формально уравнение (определение№2) получается, если в уравнении (определение№1) заменить коэффициент перед полиномом с $p$ на $p-s$.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

заменить коэффициент перед полиномом с $p$ на $p-s$

Вот с этим я согласен (я, правда, поменял $p$ на $p+s$ во втором). А опечатки, обозначения... У всех, конечно, разные. (У Эрика В. на его странице, тоже, кстати дырка в ур-е (16) - по крайней мере, сейчас.) Важно не спорить, какое из определений правильное, а понимать, какое используешь, и не смешивать два разных - а то конфуз случится.

Вы были правы, я использовал определение В. - мне было так удобнее. Я был рад, когда наше расхождение результатов прояснилось.

[LynxGAV]

Я ничего не путаю. Если бы я тогда знала, что есть еще определение как у Э.В., еще бы и с ним повозилась. Только факториал роли не сыграет.
Печально, конечно, потому что вся эта писанина на мой вопрос ответа не дает. Да я готова позабыть. Это задача трех-годичной давности.

[LynxGAV]

Может, в наших рядах появился некто, у кого есть что сказать по данному вопросу?

[V.V.]

LynxGAV писал(а):

Может, в наших рядах появился некто, у кого есть что сказать по данному вопросу?

Эрик В. - большой авторитет.
Наверное, у него Тихонов и Самарский списали определение $L_n^s(x)$

[LynxGAV]

V.V. писал(а):

Эрик В. - большой авторитет.
Наверное, у него Тихонов и Самарский списали определение $L_n^s(x)$

Я где-то упоминала Тихонова и Самарского? Замечу, что пользовалась разной литературой, в том числе той, которая была издана, когда Эрик В. еще не родился или был чрезвычайно молод.

Вопрос остался не в определениях. Пусть их будет несколько. Загвоздка в вычислении интегралов, используя одно определение. Используя второе, все считается. Но скакать туда-сюда крайне не удобно.