2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интегралы с присоединенными полиномами Лагерра.
Сообщение17.11.2005, 03:27 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Интересует вычисление интегралов вида $$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx$$, где $$L_p^s(x)$$ - присоединенные полиномы Лагерра, определенные как $$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$. Функция$f(x)$, в частности, может быть $$f(x) = x^rL_p^s(x)$$. Такое случаем не вычисляется в Маple, других программах? Какая литература (не просто с рекурентными соотношениями) есть по этому поводу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы с присоединенными полиномами Лагерра.
Сообщение17.11.2005, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17982
Москва
LynxGAV писал(а):
Интересует вычисление интегралов вида $$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx$$, где $$L_p^s(x)$$ - присоединенные полиномы Лагерра, определенные как $$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$. Функция$f(x)$, в частности, может быть $$f(x) = x^rL_p^s(x)$$. Такое случаем не вычисляется в Маple, других программах? Какая литература (не просто с рекурентными соотношениями) есть по этому поводу?


Wolfram Mathematica:

$$\int_0^{+\infty}x^{10}e^{-x}(LaguerreL[9,3,x])^2dx=89838506419200$$

Здесь $LaguerreL[9,3,x]$ - это $L_9^3(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2005, 18:04 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Я немного не это имела ввиду. При интегрировании меня интересует получение некого общего выражения, зависящего от $s$ и $p$.
Конкретно для $$f(x) = L_p^s(x)$$ посчитала вручную $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^s\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p! \Gamma(s+p+1)$$.
Сегодня разбиралась c "Mathematicа". При
Код:
Integrate[LaguerreL[p, s, x]^2Exp[-x]x^s, {x, 0, Infinity}]

выдает легкий бред, а точнее не то, что мне нужно. При конкретных $s$ и $p$ всё норм. Но численное интегрирование не решает всю проблему :(
Mожет я чего недопонимаю, полдня для изучения такой прогр. явно не достаточно :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2005, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
посчитала вручную $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^s\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p! \Gamma(s+p+1)$$.


У меня получилось $I = \frac{(s+p)!}{p!} = \frac{\Gamma(s+p+1)}{p!}$. Сверим часы :) ?

Mathematica в общем виде не берет, что наводит на разные мысли. При конкретном $p$, однако, ответ можно получить как функцию $s$, хотя и с трудом. Вопрос: что меняется? Все?.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2005, 20:28 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
незванный гость писал(а):
:evil:
У меня получилось $I = \frac{(s+p)!}{p!} = \frac{\Gamma(s+p+1)}{p!}$. Сверим часы :) ?


Расхождение в ответе очевидно из-за определения обобщенных полиномов. (Я по дороге п-факториалы не теряю и не подбираю :) ) Каким определением Вы пользовались? Таким как я дала вначале $$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$? Или тем, что, например, предлагает Эрик В.? Выясним сначала это, ОК?

незванный гость писал(а):
Mathematica в общем виде не берет, что наводит на разные мысли. При конкретном $p$, однако, ответ можно получить как функцию $s$, хотя и с трудом.

Наводит на мысли, что не может найти первообразную.
При конкретном $p$ вылазят Г-функции, это уже что-то похожее на правду, но все равно абракадабра.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2005, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
Расхождение в ответе очевидно из-за определения обобщенных полиномов.

Хорошо :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2005, 22:28 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Расскажу зачем мне всё это надо, может тогда что-то прояснится.
При нахождении средних расстояний (квадратов, кубов, расстояний в минус первой степени,..., десятой и т.п.) электронов в водородоподобных атомах (а также в других задачах на интенсивности спектральных линий переходов в атомах, др. задачах) приходится вычислять интегралы вида $$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx$$, где $$f(x) = x^rL_p^s(x)$$(*) и $$L_p^s(x)$$ -присоединенные полиномы Лагерра. По-школьному, "норма" уже не выходит. В литературе встретилась со следующими определениями $$L_p^s(x) = \frac{e^x}{x^s}\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}{x^{s+p}}$$, $$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$ (Эрик В. предлагает еще третье, суть первое, поделенное на $p!$, но в то время я с его сайтом еще не была знакома). И когда разбиралась, позарилась сразу на первое, потому что искомые интегралы сразу упрощаются $$I = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f(x)dx = (-1)^p\int_{0}^{\infty}x^{p+s}e^{-x}f^{(p)}(x)dx$$ (интегрируя $p$ раз по частям). Легко посчитала для функций:
1) $$f_1(x) = e^{(1-a)x}$$ : $$I_1 = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f_1(x)dx = \frac{(a-1)^p}{a^{s+p+1}}\Gamma(s+p+1)$$;
2) $$f_2(x) = x^r$$ : $$I_2 = \int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}L_p^s(x)f_2(x)dx = (-1)^{p}r(r-1)\cdot\cdot(r-p+1)\Gamma(s+r+1)$$.
Тогда вычисления интегралов, содержащих квадраты полиномов, можно осуществлять выражая один из полиномов через обобщенный гипергеометрический ряд $$L_p^s(x) =(-1)^p\left(x^p - \frac{p}{1}(s+p)x^{p-1} + \frac{p(p-1)}{1\cdot2}(s+p)(s+p-1)x^{p-2} + ... + (-1)^p(s+p)\cdot\cdot(s+1)\right)$$ и когда $$f(x)$$ - полином степени больше $p$, то $I = 0$.
Например, для $$f(x) = xL_p^s(x) = (-1)^p\left(x^{p+1} - p(s+p)x^p + ...\right)$$ получится $$I = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s+1}\left[L_p^s(x)\right]^2dx = p!\Gamma(s+p+1)(2p+s+1)$$.
Далее, я проверила для некоторых конкретных функций $$f(x)$$, и эти самые средние расстояния $<r^{k}>$ получаются одинаковыми (и зависят только от квантовых чисел $p$ и $s$) независимо от определения и ур-ния полиномов, как и должно быть физически.
Т.о. задача была решена, НО по сей день меня этот вопрос интересует. Потому что "второе" определение намного чаще встречается в библиографии. Потому что очень неудобно начинать "переводить из одной системы в другую". Есть некоторое облегчение - для этих $<r^{k}>$ из ур-ния для волновой функции получается рекурентное соотношение, т.е. можно посчитать какое-нибудь $<r^k>$ и получать последующие $<r^{k+1}>$, <r^{k-1}>$, НО при некоторых определенных $k$ у-ние вырождается (зануляются коэффициенты в слагаемых) и не дает никакого нового < r >$. Так что остается открытым вопрос вычисления $I$ для (*), $I_1$, $I_2$ для "второго определения" (или хотя бы метод) в наиболее общем виде (насколько это возможно). Вот и подумала, может кто с мат. физикой работает, может кто знает, где об этом почитать, может такое посчитает Mathematica...(Я не помню, что делала, но сразу не вышло и я перешла к другому определению.) Cобственно всё.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2005, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
В литературе встретилась со следующими определениями $$L_p^s(x) = \frac{e^x}{x^s}\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}{x^{s+p}}$$, $$L_p^s(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^pe^{-x}x^p$$ (Эрик В. предлагает еще третье, суть первое, поделенное на $p!$, но в то время я с его сайтом еще не была знакома).

Вы все-таки проверьте Ваше определение номер 2. Оно плохо согласуется с определением 1. Мне кажется, у Вас должно быть что-то вроде ${\bf (-1)^s} {\bf {\frac{p!}{(p+s)!}}}  \left(\frac{d}{dx}\right)^se^x\left(\frac{d}{dx}\right)^{\bf\it p+s}e^{-x}x^{\bf p+s}$ (изменения выделены жирным шрфтом). Бог с ней, с константой ${(-1)^s} \frac{p!}{(p+s)!} $, но $p+s$ определяет степень полинома.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2005, 00:21 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Незванный гость! Это не моё определение. Я как-то стараюсь не выдумывать там, где это ненужно..Вот отсканила из книги (уже убрала). Сказать, что там очепятки тоже нельзя, потому что выводятся некоторые соотношения, хорошо согласующиеся со всем, что я до этого видела. Причем, смотрите, для $s = 0$ обычные полиномы совпадают. Для присоединенных же, понятно, и уравнения будут отличаться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2005, 00:29 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Прикинула..Формально уравнение (определение№2) получается, если в уравнении (определение№1) заменить коэффициент перед полиномом с $p$ на $p-s$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2005, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
заменить коэффициент перед полиномом с $p$ на $p-s$


Вот с этим я согласен (я, правда, поменял $p$ на $p+s$ во втором). А опечатки, обозначения... У всех, конечно, разные. (У Эрика В. на его странице, тоже, кстати дырка в ур-е (16) - по крайней мере, сейчас.) Важно не спорить, какое из определений правильное, а понимать, какое используешь, и не смешивать два разных - а то конфуз случится.

Вы были правы, я использовал определение В. - мне было так удобнее. Я был рад, когда наше расхождение результатов прояснилось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2005, 18:19 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Я ничего не путаю. Если бы я тогда знала, что есть еще определение как у Э.В., еще бы и с ним повозилась. Только факториал роли не сыграет.
Печально, конечно, потому что вся эта писанина на мой вопрос ответа не дает. Да я готова позабыть. Это задача трех-годичной давности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2006, 17:19 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Может, в наших рядах появился некто, у кого есть что сказать по данному вопросу? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2006, 18:02 
Заслуженный участник


09/01/06
800
LynxGAV писал(а):
Может, в наших рядах появился некто, у кого есть что сказать по данному вопросу? :roll:


Эрик В. - большой авторитет.
Наверное, у него Тихонов и Самарский списали определение $L_n^s(x)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2006, 18:09 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
V.V. писал(а):
Эрик В. - большой авторитет.
Наверное, у него Тихонов и Самарский списали определение $L_n^s(x)$


Я где-то упоминала Тихонова и Самарского? Замечу, что пользовалась разной литературой, в том числе той, которая была издана, когда Эрик В. еще не родился или был чрезвычайно молод.

Вопрос остался не в определениях. Пусть их будет несколько. Загвоздка в вычислении интегралов, используя одно определение. Используя второе, все считается. Но скакать туда-сюда крайне не удобно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group