Найти целую часть суммы

[2old]

Найти целую часть суммы $\sum\limits_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}$

Понятно, что
$\int\limits_1^{10000}\frac{1}{x^{1/4}}dx=1332<\sum\limits_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}$
А как оценить разницу?

[ИСН]

Оцените сумму с другой стороны каким-нибудь другим интегралом.

[2old]

ИСН
Как вы догадались, что так хорошо получится?
$\int\limits_1^{10000}\frac{1}{(x-1)^{1/4}}dx=1333.23$

Нет я сделал плохо, там левая ветвь залезает. Я запутался. Надо так что ли(?):
$\sum\limits_1^{10000}\frac{1}{n^{0.25}}<1+\int\limits_2^{10000}\frac{1}{(x-1)^{1/4}}dx=1331.9+1=1332.9$

Тогда ответ 1332

[demolishka]

А не проще ли верхний предел интеграла на единичку увеличить?

[grizzly]

demolishka в сообщении #1034453 писал(а):

А не проще ли верхний предел интеграла на единичку увеличить?

А разве это вообще не обязательно было сделать с самого начала? Сто лет не решал таких примеров, но интуитивно кажется, что "кирпичиков" в интеграле нужно брать примерно столько же, сколько слагаемых в сумме.

И я бы пытался играться напрямую пределами интегрирования -- так оно понятнее: взял бы от 0,5 до 10000,5 и посмотрел бы, насколько сложно доказать, что это сколько-то больше, чем нам нужно. Думаю, что совсем несложно.

[2old]

grizzly
demolishka

Вы правы, спасибо

[sergei1961]

С решения подобной задачи без анализа только через неравенства начинается книга Коровкин П.П. Неравенства.