2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти целую часть суммы
Сообщение07.07.2015, 20:46 
Найти целую часть суммы $\sum\limits_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}$

Понятно, что
$\int\limits_1^{10000}\frac{1}{x^{1/4}}dx=1332<\sum\limits_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}$
А как оценить разницу?

 
 
 
 Re: Найти целую часть суммы
Сообщение07.07.2015, 20:57 
Аватара пользователя
Оцените сумму с другой стороны каким-нибудь :D другим интегралом.

 
 
 
 Re: Найти целую часть суммы
Сообщение07.07.2015, 21:07 
ИСН
Как вы догадались, что так хорошо получится?
$\int\limits_1^{10000}\frac{1}{(x-1)^{1/4}}dx=1333.23$

Нет я сделал плохо, там левая ветвь залезает. Я запутался. Надо так что ли(?):
$\sum\limits_1^{10000}\frac{1}{n^{0.25}}<1+\int\limits_2^{10000}\frac{1}{(x-1)^{1/4}}dx=1331.9+1=1332.9$

Тогда ответ 1332

 
 
 
 Re: Найти целую часть суммы
Сообщение07.07.2015, 21:45 
Аватара пользователя
А не проще ли верхний предел интеграла на единичку увеличить?

 
 
 
 Re: Найти целую часть суммы
Сообщение07.07.2015, 22:04 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1034453 писал(а):
А не проще ли верхний предел интеграла на единичку увеличить?

А разве это вообще не обязательно было сделать с самого начала? Сто лет не решал таких примеров, но интуитивно кажется, что "кирпичиков" в интеграле нужно брать примерно столько же, сколько слагаемых в сумме.

И я бы пытался играться напрямую пределами интегрирования -- так оно понятнее: взял бы от 0,5 до 10000,5 и посмотрел бы, насколько сложно доказать, что это сколько-то больше, чем нам нужно. Думаю, что совсем несложно.

 
 
 
 Re: Найти целую часть суммы
Сообщение07.07.2015, 22:33 
grizzly
demolishka

Вы правы, спасибо

 
 
 
 Re: Найти целую часть суммы
Сообщение08.07.2015, 12:01 
С решения подобной задачи без анализа только через неравенства начинается книга Коровкин П.П. Неравенства.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group