Коэффициент экстинкции и плотность частиц

[d_integral]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить и разобраться, потому что у меня какой-то ступор..
Задача по оптике, зондирование атмосферы. Измеряется поглощение солнечного излучения, на основе чего вычисляется сначала оптическая толщина каждого высотного слоя, а потом и само поглощение (экстинкция). то есть находится некий коэффициент $k_{ext} (\lambda,z) $, который соответствует каждой высоте и каждой фиксированной длине волны, на которой смотрим (всего таких измерено 10 длин волн). Эта часть задачи сделана.
Далее, есть формула, согласно которой

$k_{ext} (\lambda,z) = \int^{\infty}_0 \sigma_{ext}(\lambda,z) n(r,z)dr$,

где r - радиус частиц, на которых поглощается излучение (они считаются сферическими). Предполагаю, что в этом месте немного опечатка, потому что далее пишут, что
$\sigma_{ext} (\lambda,z) = Q_{ext}(r,m,\lambda)\pi r^2$, и зависимости от z я тут не наблюдаю, то есть могли перепутать и должно быть $\sigma_{ext} (\lambda,r)$, что в общем-то логично, если данная величина стоит под интегралом.
$n(r,z)$ - распределение частиц по размерам, которое считается лог-нормальным по закону:

$n(r,z) = Const \frac{1}{r}\exp(-\frac{(\ln r-\ln r_g)^2}{2\ln^2\sigma_g})$.

И есть формула, по которой количество частиц считается как

$N(z) = \frac{k_{ext} (z)}{\int^{\infty}_0\pi r^2 Q_{ext}(\lambda,z)n(r,z) dr}$.

Собственно, мне нужно найти это вот N. Предполагаю, что оно не должно зависеть от $\lambda$, потому что это физическая величина, количество частиц, и не важно, на какой длине волны мы смотрим. Почему здесь стоит $Q_{ext}(\lambda,z)$, когда раньше было $Q_{ext}(r,m,\lambda)$, мне не ведомо. Может, это другое $Q_{ext}$ ?

Параметры $r_g $ и $\sigma_g$ я знаю,
$\frac{1}{r}\exp(-\frac{(\ln r-\ln r_g)^2}{2\ln^2\sigma_g})$ посчитать могу в любом диапазоне r. Константу нормировки - не знаю.

Мозг ломаю уже вторые сутки, что куда подставить и как найти либо константу, либо.. Подскажите, пожалуйста!

[d_integral]

Подскажите, пожалуйста...
Может, у кого-нибудь есть какие идеи? Вот статья, в которой приведены эти формулы. Может, я что-то не так читаю..

[amon]

Единственный конструктивный совет - поотрывать руки авторам и головы - рецензентам, которые это пропустили. В формуле (7), судя по всему - ошибка. Должно быть $k_{ext} (\lambda,z) = \int^{\infty}_0 \sigma_{ext}(\lambda,r) n(r,z)dr$, что подтверждается формулой в тексте вслед за (7). Буквой $ Q_{\mathrm{ext}},$ судя по (8), обозначены две разные величины и прочая, и прочая... Я в этом разбираться отказываюсь. Можно попробовать найти ссылку Hansen, J.E., Travis, L.D., 1974. Light scattering in planetary atmosphere. Space Sci. Rev. 16, 527–610., глядишь, там все по-уму написано, либо обратиться к авторам напрямую. Как-то так.

[d_integral]

amon, спасибо большое за отзыв и совет!
Да, опечатки могли быть запросто, и в указанной статье действительно написано более последовательно и понятно, хотя тоже на английском.
Просто дело в том, что я не понимаю, что именно в каждом месте понимается под $ Q_{ext}$, и что мне подставлять в формулу для расчета N. И откуда вообще можно взять этот фактор, который, как пишут Hansen и Travis, выражается через функции Бесселя и прочая..
В общем, дело темное.
А обратиться к авторам, конечно, могу, просто отвлекать их неудобно )

[amon]

d_integral в сообщении #1032857 писал(а):

в указанной статье действительно написано более последовательно и понятно

Так попробуйте по ней и разобраться. Теория Ми изложена в оптике Борна и Вольфа со свойственным этим авторам занудством, так что при желании тоже можно пробиться. А задать вопрос авторам - дело обычное, тем более, что первый автор явно русскоговорящий.

[d_integral]

Да авторы эти от меня в соседних комнатах сидят, только вот я тупой аспирант еще не поступивший, а они уже ученые в международных кругах)
Собственно, первый вопрос совсем бестолковый: разве нельзя просто интеграл в большом диапазоне от функции $n(r)$ по радиусам не будет той самой искомой величиной N ?
По смыслу ведь $n(r)$ - это концентрация, то есть количество частиц с данным радиусом в единице объема. То есть, интегрируя, я получаю, сколько вообще частиц, любого радиуса. И причем тут деление экстинкции на некий интеграл, куда входит неизвестный мне и загадочный фактор Q ?
И в Hansen и Travisнет вообще формулы

$N(z) = \frac{k_{ext} (z)}{\int^{\infty}_0\pi r^2 Q_{ext}(\lambda,z)n(r,z) dr}$

И другой стороны есть вопрос еще более дурацкий:
если $n(r)dr$ - это количество частиц радиуса $(r,r+dr)$ в единице объема, и, как пишут Hansen и Travis, выполнена нормировка
$\int^{\infty}_0 n(r) dr = 1$ (формула 2.62),
то это значит, что в единице объема содержится 1 частица произвольного радиуса?

[d_integral]

Потому что я жестоко туплю...
Мне известны для каждой высоты $z$ параметры $r_g$ и $\sigma_g$
Известно, что распределение

$n(r,z) = Const \frac{1}{r}\exp(-\frac{(\ln r-\ln r_g)^2}{2\ln^2\sigma_g})$

Далее, известно, что

$\int^{\infty}_0 n(r) dr = 1$

Отсюда я могу найти константу и соответственно определить $n(r,z) $ для каждой высоты. Что оно будет означать? Количество частиц в единице объема? Вероятность того, что в единице объема будет частица данного радиуса?

[amon]

Еще раз повторю совет - обратитесь к авторам. Не знаю как у вас (в конторе), а у нас принято считать святым делом автора, будь он хоть академик и нобелевский лауреат, объяснить кому угодно, хоть дворнику, тот бред, что автор имел неосторожность опубликовать. Смысл $n(z,r)$, как я понимаю, - относительное число частиц (доля) с данным $r$ на данной высоте. Что бы получить полную концентрацию, надо это $n$ умножить на полное число частиц на данной высоте, как я понимаю, то самое $N(z)$. Как его авторы выковыривают - бог весть. К сожалению, мне сейчас некогда в этом разбираться. Я пока могу только урывками что-то быстро глянуть и написать, так что уж сами бейтесь. На короткие вопросы отвечать готов.

[d_integral]

amon, понятно, да, еще раз спасибо огромное!
Буду разбираться. В общем-то, логично предположить, что этот коэффициент экстинции (характеризующий ослабление света) связан с количеством частиц, на которых происходит поглощение и рассеяние, и логично, что эта зависимость связана в том числе с размером частиц, то есть физический смысл введения этого $Q$ примерно ясен. Но что конкретно оно выражает и как считается...

[d_integral]

Собственно, пока, после 10-го прочтения монографии Хансена и Тревис и отчаянных попыток совместить это с написанным у будущей научной руководительницы, у меня складывается примерно такая картина:
Имею посчитанные $r_g$ и $\sigma_g$ на конкретной высоте. По формуле 2.60 из Хансена

$n(r,z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\ln\sigma_g}} \frac{1}{r}\exp(-\frac{(\ln r-\ln r_g)^2}{2\ln^2\sigma_g})$

считаю нормированное распределение $n(r)$ на этой самой высоте. Проверяю от него интеграл по большому диапазону - действительно, единица. Хорошо.
Дальше у Хансена есть формула для геометрического поперечного сечения

$G = \int_{r_1}^{r_2} \pi r^2 n(r) dr$

а в статье

$Q_{ext} = \frac{k_{ext}}{G}$,

и $k_{ext}$ я знаю для каждой высоты и для 10 разных длин волн. Отсюда считаю $Q_{ext} $, взяв довольно большой диапазон радиусов (ну, чтобы все частицы посчитать).

Далее подставляю это $Q_{ext} $ в формулу для $N$, написанную в статье:

$N(z) = \frac{k_{ext} (z)}{\int^{\infty}_0\pi r^2 Q_{ext}(\lambda,z)n(r,z) dr}$

- действительно получается, что оно зависит от высоты и можно посчитать из значения $k_{ext}$ для каждой длины волны. Результат вполне ожидаем: круглые единички размерностью (высоты х длины волн)
Дуб я дубом

[d_integral]

Чтобы хоть как-то сгладить бессмысленность сих действий, пытаюсь определить пределы интегрирования в формуле для геометрического сечения: например, для каждой высоты, зная на нем распределение частиц по размерам, выделить диапазон, где значение больше половины максимального. И по этому диапазону проинтегрировать. А в конечной формуле оставить уже 0 и бесконечность.
В этом случае получаются $N$ не 1, а разные, и меньше 1. От длины волны, что логично, не зависят. Но тогда получается, что это не "aerosol number density", как пишут в статье, а плотность частиц, в наибольшем количестве присутствующих на данной высоте, что-то вроде того..

[d_integral]

Просто я глобально уже не понимаю: как может из формулы (10), в которой

$N(z) = \frac{k_{ext} (z)}{\int^{\infty}_0\pi r^2 Q_{ext}n(r,z) dr}$

и формулы (7), по которой

$k_{ext} (\lambda,z) = \int^{\infty}_0\pi r^2 Q_{ext} n(r,z)dr$,

получиться что-то кроме единицы.....

[amon]

d_integral в сообщении #1034143 писал(а):

получиться что-то кроме единицы.....

Не может. Посему, либо одинаковые буквы в (7) и (10) означают разные физические величины, либо пользовались авторы не (10), а чем-то еще, а (10) привели для наукообразия. Авторов пытать надо.

[d_integral]

amon в сообщении #1034342 писал(а):

Авторов пытать надо.

Поймала. Пытала.
Бедный автор... Она только что вернулась с конференции, и тут подкатываю я с листами выводов и формул из кучи книг и статей по оптике, с тем что "вот тут сюда не сходится"
В общем, к тому времени я уже разобралась в том, как считать, просто разъяснилось наконец, что имелось в виду в этих формулах: факторов эффективности поглощения действительно несколько. Как минимум два. Для каждой частицы - этот да, зависит и от радиуса, и от длины волны, и от всего вообще. Там, где под интегралом - стоит именно он. А есть еще интегральный - для единицы объема, или для единицы массы вещества, который уже от радиуса каждой частицы не зависит, ибо по ним с домножением на вероятность концентрации, произведено интегрирование.
Понятно, что смысл у них похож. Но они совсем не всегда друг другу равны и тем более бессмысленно подставлять второй вариант внутрь интеграла, что я тщетно пыталось делать..
Но хоть бы намекнули, если все одной буквой обозначать...
Ладно, главное, что теперь понятно и сходится

[amon]

d_integral в сообщении #1034426 писал(а):

Поймала. Пытала. ..В общем, к тому времени я уже разобралась

Вот и замечательно. Если что - обращайтесь к нам еще. Мы вам посочувствуем. ;)