Ускорение свободного падения внутри массивного тела

[Побережный Александр]

В продолжение похожей темы http://dxdy.ru/topic98902.html.
Хотелось бы обсудить вопрос о возможности существования внутри больших массивных тел пустого пространства или полостей. Какая может быть структура звезды или газовой планеты, если нет твердых составляющих? Привожу свои вычисления, которые могут подтвердить мои предположения. Рассматривались идеальные условия для несложных вычислений. Основным объектом является шар с полостью внутри, тоже шарообразной формы.

1. Вывод уравнения сферы в сферической системе координат, причем начало координат находится в точке вычисления ускорения свободного падения.
Выбираем произвольную точку внутри шара радиуса $R$ и массой $M$.
В сферической системе:
$x=r\sin\theta\cos\varphi$
$y=r\sin\theta\sin\varphi$
$z=r\cos\theta$
$r\geqslant0$, $0\leqslant\theta\leqslant180^0$, $0\leqslant\varphi\leqslant360^0$.
Ось $Z$ выбираем так, чтобы проходила через диаметр шара. Центр сферы будет находиться по оси $Z$ на расстоянии $r_o$.
Уравнение сферы в декартовой системе координат имеет вид:
$x^2+y^2+(z-r_0)^2=R^2$
$x^2+y^2+z^2-2zr_0=R^2-r_0^2$
$r^2-2rr_0\cos\theta=R^2-r_0^2$
$r^2-2rr_0\cos\theta+(r_0\cos\theta)^2=R^2-r_0^2+(r_0\cos\theta)^2$
$(r-r_0\cos\theta)^2=R^2-r_0^2+(r_0\cos\theta)^2$
$r=r_0\cos\theta\pm\sqrt{R^2-r_0^2+(r_0\cos\theta)^2}$
Таким образом уравнение сферы имеет такой вид:
$r_0<R$, $r=r_0\cos\theta+\sqrt{R^2-r_0^2+(r_0\cos\theta)^2}$

2. Вычисляем проекции на ось $Z$.
$da_z=\frac{GdM}{r^2}\cos\theta=\frac{G\frac{M}{\frac43{\pi R^3}}dV}{r^2}\cos\theta=\frac{3GM}{4\pi R^3}\frac{\cos\theta}{r^2}dxdydz=\frac{3GM}{4\pi R^3}\frac{\cos\theta}{r^2}r^2\sin\theta drd\theta d\varphi$
$da_z=\frac{3GM}{4\pi R^3}\cos\theta\sin\theta drd\theta d\varphi$

$a_z=\frac{3GM}{4\pi R^3}\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{r_0\cos\theta+\sqrt{R^2-r_0^2+(r_0\cos\theta)^2}}\cos\theta\sin\theta drd\theta d\varphi
$a_z=\frac{3GM}{4\pi R^3}\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^{\pi}(r_0\cos\theta+\sqrt{R^2-r_0^2+(r_0\cos\theta)^2})\cos\theta\sin\theta d\theta$$
$a_z=\frac{3GM}{4\pi R^3}2\pi\frac23 r_0$

$a_z=\frac{GM}{R^2}(\frac{r_0}{R})$

Другими словами, величина ускорения свободного падения линейно изменяется при приближении к центру шара.

3. Ускорение в полости шара.
Рассмотрим массивный шар, в котором внутри есть шарообразная полость или пустота.
То есть имеются две сферы с общим центром, но разного радиуса. Масса распределена равномерно между сферами.
Выбираем произвольную точку в полости и выбираем сферическую систему координат, аналогично предыдущим рассуждениям.

$a_z=a_z_1-a_z_2=\frac{GM}{R^2}(\frac{r_0}{R})-\frac{GM_1}{(R-h)^2}(\frac{r_0}{R-h})=$
$=(M_1=\rho V=\frac{M}{\frac43 \pi R^3}\frac43 \pi (R-h)^3=M(\frac{R-h}{R})^3 )=\frac{GM}{R^2}(\frac{r_0}{R})-\frac{GM}{R^2}(\frac{r_0}{R})=0$
$h$ - толщина слоя

В любой точки полости ускорение свободного падения будет нулевым.
Принципиально, чтобы центры сфер совпадали, иначе появляется ускорение. Хотя это моя догадка, пока вычислений не делал.

Выводы, которые напрашиваются у меня, следующие:
1. Тело должно вращаться, чтобы сохранялась форма самого тела, иначе полость начнет заполняться веществом, перетекающим из внешних областей. Другими словами, вращение звезды или газовых планет - одно из основных условий их существования.
2. Если есть сила, компенсирующая притяжение частиц вещества, то такое тело сохраняет свою форму без вращения. Как предполагаю, шаровая молния может какое-то время сохранять стабильную форму. Сила притяжения частиц компенсируется силой отталкивания зарядов этих же частиц.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Если в предыдущей теме еще были какие-то вопросы (связанные с ошибками в выводе), то в этой совершенно непонятен предмет обсуждения. Теорема Ньютона была сформулирована и доказана в конце XVII века, в настоящее время излагаемое Вами является предметом изучения на 1-м курсе ВУЗа или в старших классах физико-математической школы. Поэтому хотелось бы понять, какую цель Вы преследуете, отправляя все это на форум.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: пока сюда.

-- 05.07.2015, 20:10 --

Теперь давайте займемся содержанием.

Итак, Вы перевывели вторую половину теоремы Ньютона. Теперь про полости... Как Вы думаете, бывают звезды или газовые планеты, в которых нет газового давления?

[Побережный Александр]

Pphantom в сообщении #1033896 писал(а):

Как Вы думаете, бывают звезды или газовые планеты, в которых нет газового давления?

По определению, давление выражается через силу и площадь, а раз есть сила - значит есть ускорение.
Я делаю вывод: если есть давление - значит есть ускорение.
Надеюсь, вывод логический?

[Pphantom]

Побережный Александр в сообщении #1033899 писал(а):

По определению, давление выражается через силу и площадь, а раз есть сила - значит есть ускорение.
Я делаю вывод: если есть давление - значит есть ускорение.
Надеюсь, вывод логический?

Нет.

[Побережный Александр]

Не подскажете, в каком месте я сделал нелогичный вывод?
Я взял определение давления и закон Ньютона. Здесь, вроде, и ошибаться негде...

[Pphantom]

Допустим, у Вас есть баллон с газом под давлением. Что именно в нем ускоряется и куда?

[Побережный Александр]

Этот пример не совсем корректный. Давайте возьмем планету Земля и ее атмосферу. Почему газ не улетучивается в космос?

[Pphantom]

Побережный Александр в сообщении #1033916 писал(а):

Этот пример не совсем корректный.

Почему?

Побережный Александр в сообщении #1033916 писал(а):

Давайте возьмем планету Земля и ее атмосферу. Почему газ не улетучивается в космос?

Давайте. Он улетучивается.

[Побережный Александр]

Pphantom в сообщении #1033919 писал(а):

Допустим, у Вас есть баллон с газом под давлением.

Вы приводите пример, где появляется твердое вещество, влияющее на движение молекул содержащегося газа. А я рассматриваю задачу, где нет твердых структур.

Pphantom в сообщении #1033915 писал(а):

Что именно в нем ускоряется и куда?

Молекулы газа ускоряются в момент ударения о твердую оболочку баллона. А если молекула меняет направление полета, значит было изменение вектора скорости, а это и есть ускорение.

Pphantom в сообщении #1033919 писал(а):

Давайте. Он улетучивается.

Да, газ понемногу улетучивается, но такие молекулы должны выполнять некоторые условия, которые задает планета Земля, вторая космическая скорость.

[Pphantom]

Побережный Александр в сообщении #1033923 писал(а):

Вы приводите пример, где появляется твердое вещество, влияющее на движение молекул содержащегося газа. А я рассматриваю задачу, где нет твердых структур.

Замечательно. Тогда к чему должно приводить отсутствие "твердых структур"?

Побережный Александр в сообщении #1033923 писал(а):

Да, газ понемногу улетучивается, но такие молекулы должны выполнять некоторые условия, которые задает планета Земля, вторая космическая скорость.

Верно, но тогда вопрос, почему "не улетучивается", теряет смысл, не так ли?

[Побережный Александр]

Pphantom в сообщении #1033925 писал(а):

Замечательно. Тогда к чему должно приводить отсутствие "твердых структур"?

На движение молекул влияют, кроме столкновений с соседними молекулами, силовые поля массивного тела, путем придания дополнительных ускорений молекулам.

Pphantom в сообщении #1033925 писал(а):

Верно, но тогда вопрос, почему "не улетучивается", теряет смысл, не так ли?

Согласен, возможно я некорректно выразился... Но большая часть газа все же остается возле Земли, вследствие силы тяготения.
Это все я говорю к тому, что ускорение свободного падения влияет на движение молекул газа или атомов плазмы.

[Pphantom]

Побережный Александр в сообщении #1033932 писал(а):

На движение молекул влияют, кроме столкновений с соседними молекулами, силовые поля массивного тела, путем придания дополнительных ускорений молекулам.

Да, именно дополнительных. А Вы получили отсутствие этих дополнительных ускорений и на этом основании решили, что никаких ускорений не будет.

Побережный Александр в сообщении #1033932 писал(а):

Согласен, возможно я некорректно выразился... Но большая часть газа все же остается возле Земли, вследствие силы тяготения.

В таких случаях совершенно необходимо уточнять (или, по крайней мере, иметь в виду) характерные временные масштабы, о которых идет речь. Газ остается около Земли не потому, что есть сила тяготения, а просто потому, что процесс его улетучивания занимает много времени.

[Someone]

Условия равновесия массивного газового шара требуют, чтобы давление росло по мере приближения к центру.

[Побережный Александр]

Pphantom в сообщении #1033934 писал(а):

Да, именно дополнительных. А Вы получили отсутствие этих дополнительных ускорений и на этом основании решили, что никаких ускорений не будет.

Эту ситуацию, я как раз описал. В покоящемся теле пустоту газ заполнит, как заполняет любой ограниченный объем. Но если рассмотреть вращающееся тело, то газ будет удерживаться возле поверхности, так как вектор скорости перпендикулярен радиусу шара. Соответственно, внутри полости молекул газа будет мало. И чем больше размеры тела с полостью, тем меньше газа будет в центре шара.

Pphantom в сообщении #1033934 писал(а):

Газ остается около Земли не потому, что есть сила тяготения, а просто потому, что процесс его улетучивания занимает много времени.

Настолько я понимаю, именно сила тяготения ответственная за удержание газа возле поверхности. Не каждая молекула способна приобрести вторую космическую скорость. Такой пинок она может получить только от нескольких молекул, бьющих одновременно. А такое событие имеет достаточно малую вероятность.