линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе

[IHmG]

Есть задача

Цитата:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

$$\begin{pmatrix} 2& -1& 2 \\ 5& -3& 3 \\ -1& 0& -2 \end{pmatrix}$$

Найдем характеристический многочлен. Для этого составим определитель, в котором на главной диагонали запишем $a_{ii} - \lambda$. Определитель 3 порядка считается по правилу звезды... и в результате мы получаем многочлен вида $\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1$ дискриминант которого равен - 108 ... а это случай 3 корней... одного действительного ... и двух комплексно-сопряженных

Слабо верится, что это корректных ход решения задачки для заочника... ошибка в условии или нужно какие-то хитрые свойства определителя использовать

или разрешены какие-то преобразования над исходной матрицей линейного оператора

ведь матрица линейного оператора - это матрица вида

$$e \varphi = A e$$

где e - базис, А - как раз наша матрица

у Куроша

Цитата:

хотя линейное преобразование $\varphi$ может задаваться в разных базах различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней.Эти корни можно называть поэтому характеристическими корнями самого преобразования $\varphi$

Пусть в действительном линейном пространстве $V_n$ задано линейное преобразование $\varphi$. Если вектор $b$, отличный от нуля, переводится преобразованием $\varphi$ в вектор, пропорциональный самому $b$

$$b \varphi = \lambda_0 b$$

где $\lambda_0$ - некоторое действительное число, то вектор $b$ называется собственным вектором преобразования $\varphi$, а число $\lambda_0$ - собственным значением этого преобразования, причем говорят, что собственный вектор $b$ относится к собственному значению $\lambda_0$

ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

как-то чтение теории пока ничего не даёт... кроме просто интересных фактов. процитированная теория имеет какое-то отношение к задачке? :)

[Brukvalub]

Найдите в Сети он-лайн процедуру поиска собственных значений матрицы (таких примочек в Сети полно), прогоните через нее свою матрицу, так и узнаете секрет.
На всякий случай: собственные значения линейного оператора зависят только от самого оператора, а не от записи его матрицы в разных базисах.

[ewert]

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):

Слабо верится, что это корректных ход решения задачки для заочника...

Других ходов нет даже для заочника.

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):

ошибка в условии или

... или ошибка в арифметике (знаки в многочлене перепутаны)

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):

ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

... потому что в действительном пространстве. А в комплексном -- могут быть и комплексные собственные числа, даже если матрица действительна.

Хотя в учебных задачах произволением божиим (и составителя) корни чудесным образом оказываются действительными.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1033139 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1033129

писал(а):
ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

Не писАл я сей ГЛУПОСТИ, не писАл!

[Cash]

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):

и в результате мы получаем многочлен вида $\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1$

Я намекну более кондово, чем ewert. Пересчитайте еще раз.