2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 07:42 
Есть задача

Цитата:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
$$\begin{pmatrix}
 2&  -1&  2 \\
 5&  -3& 3 \\
 -1&  0& -2
\end{pmatrix}$$


Найдем характеристический многочлен. Для этого составим определитель, в котором на главной диагонали запишем $a_{ii} - \lambda$. Определитель 3 порядка считается по правилу звезды... и в результате мы получаем многочлен вида $\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1$ дискриминант которого равен - 108 ... а это случай 3 корней... одного действительного ... и двух комплексно-сопряженных

Слабо верится, что это корректных ход решения задачки для заочника... ошибка в условии или нужно какие-то хитрые свойства определителя использовать :?:

или разрешены какие-то преобразования над исходной матрицей линейного оператора :?:

ведь матрица линейного оператора - это матрица вида
$$e \varphi = A e$$
где e - базис, А - как раз наша матрица

у Куроша
Цитата:
хотя линейное преобразование $\varphi$ может задаваться в разных базах различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней.Эти корни можно называть поэтому характеристическими корнями самого преобразования $\varphi$

Пусть в действительном линейном пространстве $V_n$ задано линейное преобразование $\varphi$. Если вектор $b$, отличный от нуля, переводится преобразованием $\varphi$ в вектор, пропорциональный самому $b$ $$b \varphi = \lambda_0 b$$ где $\lambda_0$ - некоторое действительное число, то вектор $b$ называется собственным вектором преобразования $\varphi$, а число $\lambda_0$ - собственным значением этого преобразования, причем говорят, что собственный вектор $b$ относится к собственному значению $\lambda_0$



ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

как-то чтение теории пока ничего не даёт... кроме просто интересных фактов. процитированная теория имеет какое-то отношение к задачке? :)

 
 
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 10:18 
Аватара пользователя
Найдите в Сети он-лайн процедуру поиска собственных значений матрицы (таких примочек в Сети полно), прогоните через нее свою матрицу, так и узнаете секрет.
На всякий случай: собственные значения линейного оператора зависят только от самого оператора, а не от записи его матрицы в разных базисах.

 
 
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 11:46 
IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
Слабо верится, что это корректных ход решения задачки для заочника...

Других ходов нет даже для заочника.

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
ошибка в условии или

... или ошибка в арифметике (знаки в многочлене перепутаны)

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

... потому что в действительном пространстве. А в комплексном -- могут быть и комплексные собственные числа, даже если матрица действительна.

Хотя в учебных задачах произволением божиим (и составителя) корни чудесным образом оказываются действительными.

 
 
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 12:19 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1033139 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1033129

писал(а):
ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

Не писАл я сей ГЛУПОСТИ, не писАл!

 
 
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 13:14 
IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
и в результате мы получаем многочлен вида $\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1$

Я намекну более кондово, чем ewert. Пересчитайте еще раз.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group