2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 07:42 


29/05/15
100
Есть задача

Цитата:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
$$\begin{pmatrix}
 2&  -1&  2 \\
 5&  -3& 3 \\
 -1&  0& -2
\end{pmatrix}$$


Найдем характеристический многочлен. Для этого составим определитель, в котором на главной диагонали запишем $a_{ii} - \lambda$. Определитель 3 порядка считается по правилу звезды... и в результате мы получаем многочлен вида $\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1$ дискриминант которого равен - 108 ... а это случай 3 корней... одного действительного ... и двух комплексно-сопряженных

Слабо верится, что это корректных ход решения задачки для заочника... ошибка в условии или нужно какие-то хитрые свойства определителя использовать :?:

или разрешены какие-то преобразования над исходной матрицей линейного оператора :?:

ведь матрица линейного оператора - это матрица вида
$$e \varphi = A e$$
где e - базис, А - как раз наша матрица

у Куроша
Цитата:
хотя линейное преобразование $\varphi$ может задаваться в разных базах различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней.Эти корни можно называть поэтому характеристическими корнями самого преобразования $\varphi$

Пусть в действительном линейном пространстве $V_n$ задано линейное преобразование $\varphi$. Если вектор $b$, отличный от нуля, переводится преобразованием $\varphi$ в вектор, пропорциональный самому $b$ $$b \varphi = \lambda_0 b$$ где $\lambda_0$ - некоторое действительное число, то вектор $b$ называется собственным вектором преобразования $\varphi$, а число $\lambda_0$ - собственным значением этого преобразования, причем говорят, что собственный вектор $b$ относится к собственному значению $\lambda_0$



ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

как-то чтение теории пока ничего не даёт... кроме просто интересных фактов. процитированная теория имеет какое-то отношение к задачке? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Найдите в Сети он-лайн процедуру поиска собственных значений матрицы (таких примочек в Сети полно), прогоните через нее свою матрицу, так и узнаете секрет.
На всякий случай: собственные значения линейного оператора зависят только от самого оператора, а не от записи его матрицы в разных базисах.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 11:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
Слабо верится, что это корректных ход решения задачки для заочника...

Других ходов нет даже для заочника.

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
ошибка в условии или

... или ошибка в арифметике (знаки в многочлене перепутаны)

IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

... потому что в действительном пространстве. А в комплексном -- могут быть и комплексные собственные числа, даже если матрица действительна.

Хотя в учебных задачах произволением божиим (и составителя) корни чудесным образом оказываются действительными.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
ewert в сообщении #1033139 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1033129

писал(а):
ага! собственными значениями могут служить только действительные характеристические корни...

Не писАл я сей ГЛУПОСТИ, не писАл!

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, найти матрицу оператора в указанном базисе
Сообщение03.07.2015, 13:14 
Заслуженный участник


12/09/10
1538
IHmG в сообщении #1033098 писал(а):
и в результате мы получаем многочлен вида $\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1$

Я намекну более кондово, чем ewert. Пересчитайте еще раз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group