Объясните, что такое задача N тел

[Atom001]

Здравствуйте!
Пусть есть $N$ космических тел. Они взаимодействуют по законам Ньютона. Утверждается, что "задача $N$ тел" не решена. Объясните, пожалуйста, в чём заключается нерешённость этой задачи.
Мы можем записать уравнения координат для равноускоренного движения, а ускорения найти из второго закона Ньютона. Таким образом мы получим координаты любого из $N$ тел в любой момент времени. Почему эти уравнения не будут являться решением задачи $N$ тел? Всё дело в сложности расчётов? Тогда может быть нам помогут компьютеры (в частности, суперкомпьютеры)?

[Pphantom]

Движение не будет равноускоренным, поскольку тела взаимодействуют гравитационно. Ну и потому что под "решением" обычно понимают решения уравнений, а не сами уравнения.

Компьютеры, естественно, помогут. Правда, даже численное решение подобных задач сопряжено с некоторыми существенными трудностями.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1032041 писал(а):

Движение не будет равноускоренным, поскольку тела взаимодействуют гравитационно.

Да, я об этом не подумал. Оно будет просто ускоренным.

Pphantom в сообщении #1032041 писал(а):

Ну и потому что под "решением" обычно понимают решения уравнений, а не сами уравнения.

А вот "задача двух тел" решена же? Что является решениями уравнений в этом случае? Координаты точек, составляющих эллипс?

Pphantom в сообщении #1032041 писал(а):

Правда, даже численное решение подобных задач сопряжено с некоторыми существенными трудностями.

Расскажите, пожалуйста, по-подробнее об этих трудностях.

[Ms-dos4]

Atom001
1)Задача "двух тел" называется задачей Кеплера, и конечно давно решена. Решение - движение двух тел по коническим сечениям вокруг их центра инерции (там находится фокус). Само решение - это закон движения центра масс (он равномерный), параметры коник и закон движения тел по ним (обычно параметрическая зависимость $\[r\]$ от $\[t\]$ для соответствующей задачи в центральном поле, по которой восстанавливается закон для каждого из тел). Решение этой задачи наверное приводится в каждом учебнике по механике, в т.ч. например в ЛЛ(I).
2)Трудностей несколько. Во первых, если тел много, то при "лобовом" методе (напр. Рунге-Кутты) достаточно быстро растёт вычислительная сложность c ростом числа тел. Во вторых, для задачи многих тел характерно хаотическое поведение - малые ошибки численного интегрирования (возникают чаще всего при сильном сближении тел) могут быстро накапливаться, и приводить к совершенно другой последующей динамике. Особенность потенциала в нуле так же не добавляет радости (при столкновения или сильном сближении) - приходится сильно уменьшать шаг интегрирования. Поэтому обычно моделирование проводят несколько более хитрыми схемами.

[Munin]

Atom001 в сообщении #1032040 писал(а):

Мы можем записать уравнения координат для равноускоренного движения, а ускорения найти из второго закона Ньютона. Таким образом мы получим координаты любого из $N$ тел в любой момент времени. Почему эти уравнения не будут являться решением задачи $N$ тел?

Вспомните вот этот мой рассказ: post919156.html#p919156 .

Здесь задача тоже поставлена в виде дифференциальных уравнений. Их можно решить численно, с произвольной точностью. Но решением задачи (по традиции) здесь называется решение дифференциальных уравнений - функция в виде $x(t),$ без дифференциальных уравнений. В такую функцию можно вставлять любые числа $t,$ и по формуле вычислить, где в итоге окажется механическая точка.

Увы, такой случай не просто редкость. Есть такие математические задачи, для которых точно доказано, что такой формулы написать нельзя. И грубо говоря, таких задач абсолютное большинство.

Существуют разные промежуточные случаи между "есть формула" и "решать можно только численно". Например,
- Существуют случаи, когда решение можно написать в виде какого-то интеграла, но сам интеграл взять нельзя. Довольно часто такие интегралы называют "спецфункциями", и тогда решение выражается в спецфункциях. Это, по сути, ничем не хуже и не лучше привычных функций типа синуса, косинуса, логарифма. Такие функции тоже можно считать с любой точностью, хотя иногда гораздо медленнее, чем синус.
- Бывает, когда в виде каких-то известных спецфункций решение не выражается, но для него можно написать формулу в виде ряда - суммы от $0$ до $\infty.$ Такая сумма имеет бесконечно много слагаемых, то есть её просто нельзя сложить раз и навсегда - её надо складывать каждый раз для той точки ($t$), в которой нас интересует результат. Что значит "сложить бесконечно много слагаемых"? Это значит, сложить много-много слагаемых в начале, а потом слагаемые станут такими маленькими, что сколько их ни добавляй, они уже не повлияют на результат.
- Бывают более неприятные случаи, когда то же самое можно записать только в неявных функциях - в функциях не от $t,$ а от каких-то других параметров.

Например, таково решение задачи для 2 тел:

$$x=a(\cos\xi-e),\qquad y=a\sqrt{1-e^2}\,\sin\xi,\qquad t=\dfrac{a^{3/2}}{\sqrt{Gm_1}}\,(\xi-e\sin\xi).$$

Как видно, здесь функции неявные: надо задавать различные значения переменной $\xi$ (здесь $a,e,Gm_1$ фиксированные константы), и тогда можно получить и момент времени $t,$ и положение для этого момента времени. В обратную же сторону, имея момент времени $t,$ придётся сначала решить уравнение $\xi-e\sin\xi=Ct,$ а оно трансцендентное, так что формулой не решается.

Например, таково решение задачи для 3 тел - оно не выписывается в виде формулы, но выписывается в виде рядов тоже относительно некоторой дополнительной переменной.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #1032088 писал(а):

Например, таково решение задачи для 2 тел:

Часть решения --- финитное движение.

[Munin]

И наконец, даже когда почти ничего хорошего о формулах сказать нельзя - проще всё считать численно - даже тогда существуют интересные вопросы к математике, которые можно задавать, и получать ответы.

Эти вопросы касаются структуры решения - даже если мы не можем решения найти, то мы иногда можем сказать о нём что-то "в общих чертах". Например, здесь могут быть такие вопросы:
- Существуют ли такие числа, которые можно вычислить из положений механических точек, такие, что они будут изменяться по более понятным и известным законам? Чаще всего подразумеваются числа, которые вообще остаются всегда постоянными. Они называются законы сохранения, или интегралы движения, и некоторые из них вы знаете: это энергия, импульс, момент импульса (для векторных величин подразумеваются три проекции на произвольные оси).
- Пойдёт ли решение рано или поздно по кругу (периодическое решение), или всегда будет двигаться как-то по-новому (непериодическое)? Периодические решения встречаются очень редко, надо сказать.
- Пойдёт ли решение "вразнос", так что какие-то точки улетят на бесконечность? Или всегда они будут находиться вблизи друг друга (и насколько близко)? Могут ли точки, наоборот, "упасть" друг на друга, и на этом всё закончится?
- Будет ли решение по ходу времени приближаться к какому-то более понятному и предсказуемому решению? Или наоборот, будет ли оно удаляться от любых попыток его предсказать? Последний случай ведёт к большому и интересному виду движений - к хаотическим движениям, к хаосу (это не просто образное слово, а математический термин).

Если тел очень много, то возникают вопросы, которые можно задать про все тела в общем, как про какой-нибудь газ. Например, придут ли эти тела в какое-то подобие теплового равновесия? Сколько тел "слипнется", сколько "улетит прочь", а сколько останется на месте?

В этих вопросах часто тоже бывает полезна помощь компьютеров и суперкомпьютеров. Но она не такая простая, как кажется на первый взгляд, и часто бывает так, что чтобы понять, что именно считают на компьютере, и как, надо сначала глубоко изучить математическую сторону задачи.

-- 29.06.2015 13:53:34 --

Nemiroff в сообщении #1032089 писал(а):

Часть решения --- финитное движение.

Да. Спасибо за уточнение.

[Atom001]

Ms-dos4, спасибо!

Munin в сообщении #1032088 писал(а):

Есть такие математические задачи, для которых точно доказано, что такой формулы написать нельзя.

Как-то несколько непривычно осознавать то, что точно нельзя найти формулу.
С трансцендентными уравнениями мне уже приходилось сталкиваться. Естественно, я не мог их решить, поэтому обращался за помощью к компьютеру. Но я всегда считал, что в математике есть методы, которые позволят всё-таки выразить $x$ из уравнения $\cos x = x$. Может быть просто математика ещё не нашла таких методов?

Munin в сообщении #1032088 писал(а):

Например, таково решение задачи для 3 тел - оно не выписывается в виде формулы, но выписывается в виде рядов тоже относительно некоторой дополнительной переменной.

А в общем случае (для любого количества тел) решение также записывается рядами?

Мы можем задавать всякие значения для $\xi$, тогда получим всякие значения времени и сможем найти координаты на больших промежутках времени. Три тела - это ведь не много, поэтому трудности, описанные Ms-dos4, несущественны. Почему же до сих пор не решена задача трёх тел?

Munin в сообщении #1032088 писал(а):

Существуют разные промежуточные случаи между "есть формула" и "решать можно только численно".

Можно какой-нибудь несложный пример с неберущимися интегралами? Очень хочется посмотреть.

Munin в сообщении #1032093 писал(а):

Эти вопросы касаются структуры решения - даже если мы не можем решения найти, то мы иногда можем сказать о нём что-то "в общих чертах". Например, здесь могут быть такие вопросы:

Это всё весьма интересно!

Munin в сообщении #1032093 писал(а):

Будет ли решение по ходу времени приближаться к какому-то более понятному и предсказуемому решению? Или наоборот, будет ли оно удаляться от любых попыток его предсказать? Последний случай ведёт к большому и интересному виду движений - к хаотическим движениям, к хаосу (это не просто образное слово, а математический термин).

Кстати, о хаосе. В конце концов может ли быть математически описано тепловое (ну или хотя бы броуновское) движение? Существуют ли такие дифференциальные уравнения, которые позволят в любой момент времени найти где будет та или иная частица? Я потому спрашиваю про тепловое движение, что оно намного сложнее гравитационной задачи $N$ тел.

-- 30.06.2015, 00:22 --

И ещё (думаю это из той же оперы):
В книге Климишина "Элементарная астрономия" написано, что устойчивые планетные системы могут существовать только в 3-х измерениях. Почему это так? Что помещает планетам вращаться вокруг звезды в 4-х пространственных измерениях?

[Dmitriy40]

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Как-то несколько непривычно осознавать то, что точно нельзя найти формулу.

А что интеграл $\int \dfrac{1}{\ln x} dx$ (как и $\int \dfrac{\sin x}{x}dx$ и многие-многие другие) не выражается в элементарных функциях уже привычно?
Кстати, видел где-то утверждение, что при любой аксиоматике (список элементарных функций?) обязательно и неизбежно будут неберущиеся интегралы (не выражаемые через данный список "элементарных" функций). Т.е. проблема с существованием решений, не выражаемых формулой - принципиальна.

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Почему же до сих пор не решена задача трёх тел?

Именно потому, что решение задачи в общем виде не выражается формулой. А под словом "решение" обычно подразумевается именно формула зависимости $\vec{r}_i(t), i=1..N$ (r - радиус-вектор из начала координат до местоположения центра инерции тела, можно разложить и в три уравнения в проекциях на координатные оси: $x_i(t), y_i(t), z_i(t)$). Во многих частных случаях (с наложенными какими-то ограничениями) - вполне себе решена.

(Пример упрощения задачи 3-х тел)

Как самый простой пример такого упрощения можно привести задачу с одним очень массивным по сравнению с двумя другими телом, тогда задачу можно свести к задаче уже двух тел во внешнем центрально-симметричном стационарном поле. Выбрав ещё побольше и радиус орбиты обоих меньших тел можно перейти во вращающуюся систему отсчёта и полностью убрать из формул внешнее поле от массивного центрального тела. Конечно с некоторой погрешностью, но выбором отношения масс и радиуса орбит меньших тел погрешность можно свести к любой заранее заданной малой величине. (Если я тут слишком грубо описал идею - поправьте плиз.)

[Munin]

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Как-то несколько непривычно осознавать то, что точно нельзя найти формулу.

Функций на свете намного больше, чем формул :-)

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Естественно, я не мог их решить, поэтому обращался за помощью к компьютеру. Но я всегда считал, что в математике есть методы, которые позволят всё-таки выразить $x$ из уравнения $\cos x = x$. Может быть просто математика ещё не нашла таких методов?

Нет, для них достаточно просто доказывается, что выражения не может быть. Собственно, само слово "трансцендентный" - это не просто слово, а ссылка на некую теорию. Правда, я её не знаю, и не смогу изложить :-)

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

А в общем случае (для любого количества тел) решение также записывается рядами?

А в общем случае даже этих рядов не нашли :-)

Так что, самое лучшее, что мы можем сказать о системе многих тел - это исходное дифференциальное уравнение...

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Три тела - это ведь не много, поэтому трудности, описанные Ms-dos4, несущественны. Почему же до сих пор не решена задача трёх тел?

Во-первых, решена! Но не в том виде и не в том смысле, в котором решена задача двух тел.
Во-вторых, трудность численного решения, описанная Ms-dos4, как раз существенна.
А кроме того, существенна та трудность, что хотя хаотического поведения здесь и нет (afair), но есть очень много разнообразных вариантов поведения в зависимости от начальных условий, причём зависимость эта неприятного вида: чуть-чуть изменяются начальные условия - очень сильно меняется результат где-то через много-много витков.

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Можно какой-нибудь несложный пример с неберущимися интегралами? Очень хочется посмотреть.

Проще сами неберущиеся интегралы предъявить. Хотя бы эллиптические интегралы.

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Это всё весьма интересно!

Согласен! (И рад, что вам это интересно.)
Но также это и трудно и необычно. В общем, подробное рассмотрение таких вещей выходит за рамки образования многих студентов-физиков, а студенты-математики добираются до этого где-то курсу к третьему-четвёртому.
Я не смогу рассказать, через какие предварительные дебри надо пройти, чтобы заняться этими вопросами.

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Кстати, о хаосе. В конце концов может ли быть математически описано тепловое (ну или хотя бы броуновское) движение?

Кстати, вот слово "хаос" - это совсем не то же самое, что всплывает в голове при распространённых, увы, словосочетаниях "хаотическое движение молекул". Поскольку слово "хаос" обрело собственный чёткий смысл, то для молекул физики предпочитают говорить "беспорядочное".

Математически тепловое движение может быть описано - но не точно, а "в общих чертах". Примерно как если вы смотрите на мешок песка, и задаёте, где он лежит, и на каком боку - но не задаёте положение каждой песчинки.

Это называется теорией вероятностей и математической статистикой, а соответствующая физическая теория - статистической механикой и статистической физикой. Там вводятся такие штуки, как вероятностные законы природы: математические формулы, которые говорят не точный ответ, а что-то типа "скорее всего здесь, но может быть, с вот такими точно подсчитанными шансами, и здесь".

В этом смысле, несколько похожая ситуация в квантовой механике: там тоже можно указать только вероятность того или другого результата опыта. И только если взять много частиц, то вместе они дадут какой-то чёткий результат.

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

Я потому спрашиваю про тепловое движение, что оно намного сложнее гравитационной задачи $N$ тел.

Когда говорят про $N$ тел, то часто подразумевают, что это число $N$ - не маленькое и конкретное, а большое и неопределённое. И тогда эти задачи оказываются примерно одинаковыми по сложности. И подходы здесь близкие: в гравитационной задаче $N$ тел тоже используются вероятностные вычисления, и пытаются найти вероятностные законы.

[Atom001]

Dmitriy40 в сообщении #1032183 писал(а):

А что интеграл $\int \dfrac{1}{\ln x} dx$ (как и $\int \dfrac{\sin x}{x}dx$ и многие-многие другие) не выражается в элементарных функциях уже привычно?

Я этому никогда, почему-то, не удивлялся. Неберущийся интеграл - это как деление на ноль - не определена такая операция и всё тут.

Dmitriy40 в сообщении #1032183 писал(а):

Именно потому, что решение задачи в общем виде не выражается формулой.

Munin написал, что решение можно выразить с помощью ряда и вспомогательной переменной. Это не является формулой?

[Ms-dos4]

Atom001
1)Ничего общего с "неопределённостью" тут нет. Просто нельзя выразить результат в элементарных функциях и всё тут. В некоторых случаях, первообразную можно определить как новую функцию (например через ряд), как допустим для приведённых вам интегралов. В некоторых случаях же это не имеет особого смысла.
2)Формулой то является, только не совсем обычной. Во первых, это не замкнутая форма. Во вторых, эти ряды бесполезны, так как сходятся слишком медленно.

[Atom001]

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Функций на свете намного больше, чем формул

А ещё кто-то говорил, что Вселенная симметрична! :)

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Нет, для них достаточно просто доказывается, что выражения не может быть.

Ясно.

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

А в общем случае даже этих рядов не нашли

Круто!!! Я уж начал думать, что наш мир слишком прост, а в нём, оказывается, ещё так много белых пятен!

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Во-первых, решена! Но не в том виде и не в том смысле, в котором решена задача двух тел.

Решена только для частных случаев?

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Во-вторых, трудность численного решения, описанная Ms-dos4, как раз существенна.

Даже для 3 тел?! Страшно представить себе расчёты для тысяч тел!

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Проще сами неберущиеся интегралы предъявить. Хотя бы эллиптические интегралы
.

Спасибо! Почитаю.

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Но также это и трудно и необычно. В общем, подробное рассмотрение таких вещей выходит за рамки образования многих студентов-физиков, а студенты-математики добираются до этого где-то курсу к третьему-четвёртому.

Похоже, это действительно сложные темы. (Ну я ещё до них доберусь, чессолво!)

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Кстати, вот слово "хаос" - это совсем не то же самое, что всплывает в голове при распространённых, увы, словосочетаниях "хаотическое движение молекул". Поскольку слово "хаос" обрело собственный чёткий смысл, то для молекул физики предпочитают говорить "беспорядочное".

То есть "хаос" бесконечно много беспорядочен, чем "беспорядочное" движение? И "беспорядочное" движение всё-таки подчиняется некоторым закономерностям (хоть и вероятностным)?

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

вероятностные законы природы: математические формулы, которые говорят не точный ответ, а что-то типа "скорее всего здесь, но может быть, с вот такими точно подсчитанными шансами, и здесь".

Такого я ещё не касался. Нужно будет что-нибудь посмотреть. Посоветуете какие-нибудь книжки "школьного" уровня по статистической физике?

Munin в сообщении #1032184 писал(а):

Когда говорят про $N$ тел, то часто подразумевают, что это число $N$ - не маленькое и конкретное, а большое и неопределённое. И тогда эти задачи оказываются примерно одинаковыми по сложности.

А! Я то всё думал, что $N$ означает $2, 3, 4, 5, ...$

Ms-dos4 в сообщении #1032190 писал(а):

1)Ничего общего с "неопределённостью" тут нет. Просто нельзя выразить результат в элементарных функциях и всё тут. В некоторых случаях, первообразную можно определить как новую функцию (например через ряд), как допустим для приведённых вам интегралов. В некоторых случаях же это не имеет особого смысла.

Я понимаю это. Про неопределённость я писал об операции деления на $0$.
Для меня неберущийся интеграл - это просто функция (не знаю, можно ли так говорить) от переменной, которую никак нельзя упростить до элементарных функций.

Ms-dos4 в сообщении #1032190 писал(а):

Во первых, это не замкнутая форма.

А что это значит?

Ms-dos4 в сообщении #1032190 писал(а):

Во вторых, эти ряды бесполезны, так как сходятся слишком медленно.

А эти ряды являются единственными решениями задачи 3-х тел? Нельзя ли другим методом прийти к другому ряду, который будет быстро сходится?

-- 30.06.2015, 01:09 --

И всё-таки, что насчёт этого:

Atom001 в сообщении #1032170 писал(а):

И ещё (думаю это из той же оперы):
В книге Климишина "Элементарная астрономия" написано, что устойчивые планетные системы могут существовать только в 3-х измерениях. Почему это так? Что помещает планетам вращаться вокруг звезды в 4-х пространственных измерениях?

[Ms-dos4]

1)Я имел ввиду, что например для геом. прогрессии ($\[\left| q \right| < 1\]$) $\[S = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{q^k}} \]$ - незамкнутая форма, $\[S = \frac{1}{{1 - q}}\]$ - замкнутая. Ряды Зундмана дают вам решение в виде $\[{r_i} = (\sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_{ik}}{\tau ^k}} ,\sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_{ik}}{\tau ^k}} ,\sum\limits_{k = 0}^\infty {{c_{ik}}{\tau ^k}} )\]$, $\[t = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{d_k}{\tau ^k}} \]$, где $\[\tau \]$ - новая переменная "времени".
И коэффициенты в них таковы, что сходятся они в общем случае крайне медленно. Другого аналитического решения, увы, нет.
2)Скорее всего имелось ввиду, что центрально-симметричный потенциал в других измерениях отличен от $\[\frac{\alpha }{r}\]$, поэтому будут проблемы к существованию замкнутых орбит (при исключительных условиях они возможны, но любое возмущение их разрушает).

[Munin]

Atom001 в сообщении #1032193 писал(а):

А! Я то всё думал, что $N$ означает $2, 3, 4, 5, ...$

Я не уверен, но может быть, такое тоже бывает, только пишется с маленькой буквой: "задача $n$ тел".

В общем, если вы получите решение для любого $n,$ то тем самым и для больших $N.$
Но на практике это может быть не так, например, сложность вычислений с ростом $n$ может возрастать неимоверно, так что пытаться что-то понять про большие $N$ всё равно безнадёжно.

Или же я путаю, и то, что я описал, называется "задача многих тел"...

Кстати, раз уж тут астрономия.

В Солнечной системе много тел. Но одно - самое массивное - это Солнце. Дальше идут планеты (8 штук), дальше всякая мелочь. Можно рассматривать движение двух тел, можно - вычислять возмущение движения одной планеты другой планетой. Посчитать все планеты вместе - невозможно (точнее, можно только численно). Мелочью можно пренебречь: на крупные тела она не влияет.

Каждая планета имеет спутники, и тут тоже возникает такая иерархия. Можно посчитать влияние одних спутников на другие.

Кажется, спутники 3-го порядка в Солнечной системе не открыты :-) Хотя искусственные спутники Луны бывают, и также иногда были искусственные спутники других планет (временно).

В мире звёзд - известны двойные звёзды, тройные, и далее, кажется, до 5- или 7-кратных. Такие системы обычно устроены иерархически, хотя немного иначе: две звезды близкой массы могут летать рядом, а вдалеке от них - третья звезда, или ещё такая пара звёзд.

Дальше идут звёздные скопления: рассеянные и шаровые. Рассеянные - порядка 100 - 1000 звёзд, шаровые - до 100 000 звёзд ($10^5$). Вот чтобы анализировать такие штуки, нужна уже теория многих тел, статистическая.

Кстати, если смотреть на мелочь в той же Солнечной системе, то она может жить по принципам задачи многих тел, но не сама по себе, а в условиях притягивающего центра. Она образует Внутренний пояс астероидов, Пояс Койпера, и возможно, Облако Оорта - если грубо перечислять.

Дальше - галактики. В нашей Галактике звёзд оценочно $10^{11}$ (сто миллиардов), хотя карликовые галактики, кажется, начинаются с $10^6\text{-}10^7.$ Галактику уже не удаётся обычно представить как просто систему звёзд - в ней есть газ, магнитные поля, рукава (возможно, ещё тёмная материя), а звёзды - не нечто постоянное, они то возникают, то взрываются. Впрочем, для одного класса галактик - эллиптических - это представление лучше работает.

Дальше идут скопления и сверхскопления галактик - тоже в масштабах до 100 - 10 000 штук (отдельных галактик!).

И общее число галактик во Вселенной, если мне не изменяет память, опять порядка $10^{11}.$ Но Вселенную тоже нельзя считать как задачу $N$ тел, но по другой причине: в ней начинает играть большую роль релятивистское гравитационное поле общей теории относительности - кривизна пространства-времени. По сути, перестаёт работать такой простой закон Ньютона, вместо него работает уравнение Эйнштейна. Плюс ещё во Вселенной есть тёмная энергия.

-- 29.06.2015 22:03:53 --

Atom001 в сообщении #1032193 писал(а):

Решена только для частных случаев?

Нет, для общего, но в виде ряда, который описал Ms-dos4. И этот ряд к тому же очень плохо сходится: приходится вычислять многие тысячи членов ряда.

Atom001 в сообщении #1032193 писал(а):

То есть "хаос" бесконечно много беспорядочен, чем "беспорядочное" движение?

Хаос беспорядочен неким специальным образом. То, что беспорядочно без этого специального способа - хаосом не считается.

Atom001 в сообщении #1032193 писал(а):

И "беспорядочное" движение всё-таки подчиняется некоторым закономерностям (хоть и вероятностным)?

Да, но эти закономерности иногда говорят меньше, чем хочется узнать.

Atom001 в сообщении #1032193 писал(а):

Такого я ещё не касался. Нужно будет что-нибудь посмотреть. Посоветуете какие-нибудь книжки "школьного" уровня по статистической физике?

Школьного - боюсь, не бывает. Впрочем, можно попробовать уже знакомые вам
Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика, теплота, звук.
Там главы 39-46 посвящены именно статистической физике.
(Статистическая физика традиционно тесно связана с термодинамикой: именно тепловое движение первым потребовало статистических методов рассмотрения. Но на самом деле, круг явлений статистической физики шире: это и кинетика химических реакций (скорость протекания), и лазеры, и много чего ещё.)

Atom001 в сообщении #1032193 писал(а):

Для меня неберущийся интеграл - это просто функция (не знаю, можно ли так говорить) от переменной, которую никак нельзя упростить до элементарных функций.

Ну да. По сути, это функция.

И по сути, движение $n$ (и даже $N$) тел - это тоже функция.

Но вот вычислить её нельзя или очень трудно. А если была бы формула, было бы просто. В этом разница.