Оценка значений случайного процесса

[B_u_b_a]

Есть $n$-мерный случайный процесс $X_{t}=(X_{t}^{1}, X_{t}^{2}, ... , X_{t}^{n})$, $X_{t}^{i}$ - это целые неотрицательные числа. Известно его математическое ожидание $E(X_{t})$ в произвольный момент времени. Известно несколько наблюдений процесса в моменты времени $t_1,...t_k$. Нужно оценить значения процесса в произвольный момент времени между наблюдениями, а также предсказать его значение во времени. Дисперсия не известна (хотя может быть полученна грубая численная оценка дисперсии). Разница $X_{t}-E(X_{t})$ - это точно не гауссовская случайная величина.

1 Какой существует оптимальный (в среднеквадратическом смысле) метод оценки случайного процесса $X_{t}$? Если дисперсия не известна.
Пока я думаю в качестве оценки значений $X_{t}$ в ненаблюдаемые моменты времени брать его математическое ожидание. Имеет ли смысл, что-то добавлять еще если дисперсия не известна, а хочется каких-то гарантий (оптимальности этой оценки)?

2 Если вдруг, я как-нибудь узнаю эту дисперсию, какой тогда будет оптимальный метод оценки?

Подойдет ли для решения этих двух задач фильтр Калмана? Я пока плохо понимаю что это, стоит ли в нем разбираться или фильтр Калмана тут ни при чем?

[dsge]

Посмотрите литературу по Markov-Switching процессам. Если процесс дискретный, то его естественно описывать Марковской цепью. Идея оптимальной оценки та же что и фильтре Калмана - это условое матожидание; но для дискреных процессов лучше оценивать вероятности нахождения процесс в том или ином состоянии, учитывая наблюдения (с использованием формулы Байеса) .

[B_u_b_a]

Здравствуйте. Я посмотрел одну статью по Markov-Switching процессам. Кажется я понял примерный подход. Однако, у меня другая ситуация: у меня нет скрытых компонент. Процесс является стационарной марковской цепью с непрерывным временем. Количество всех возможных дискретных состояний бесконечно (счетно). Известны вероятности переходов за малый интервал времени $h$ ($h \to 0$). Вероятности состояний в произвольный момент времени получить мне не удалось (из-за многомерности процесса и бесконечного количества возможных состояний). Однако, я знаю условное математическое ожидание процесса $X_{t}$ при условии известного начального значения $X_{0}$.

Сейчас я вижу две возможные стратегии оценки:

1) На интервале времени $(t_{i}, t_{i+1})$ ($i=1,..,k$) значение процесса $X_{t}$ оцениваем как условное математическое ожидание $E(X_{t}|X_{t_{i}})$. Аналогично предсказываем значение в будущем при $t>t_{k}$: $\hat{X_{t}}=E(X_{t}|X_{t_{k}})$.

2) Если бы мне удалось получить вероятность нахождения процесса в произвольном состоянии $A=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ в момент времени $t$ при известном значении процесса в начальный момент момент времени: $P(X_{t}=A|X_{0})$, тогда на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ значение процесса $X_{t}$ оценивалось бы как состояние c максимальной вероятностью: $ \max_{A}(P(X_{t}=A|X_{t_{i}}))$. Аналогично, предсказывалось бы значение в произвольный момент времени при $t>t_{k}.$


Что Вы об этом думаете? К сожалению, мне не с кем посоветоваться, поэтому пишу сюда.

I) Меня смущает, что при оценке значений на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ берется оценка условного математического ожидания (или условных вероятностей) при условии только значения $X_{t_{i}}$, но ведь известно и значение в момент $X_{t_{i+1}}$. Может быть это тоже как-нибудь можно учитывать?

II) Какой способ выбрать (если бы мне удалось посчитать вероятности)? Существуют же и другие (фильтр Калмана, фильтр частиц и пр.), я в них ничего не понимаю, я боюсь, что если я сейчас сделаю, а потом выяснится, что для этой задачи существует другой метод, для которого доказана оптимальность, тогда придется все переделывать.

III) Сейчас я почти полностью реализовал подход с условным математическим ожиданием. Работает не очень хорошо (а с чем сравнить?). Особенно с учетом того, что значения получаются не целыми. Т. е. надо округлять, а это дополнительная ошибка.

[dsge]

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

я боюсь, что если я сейчас сделаю, а потом выяснится, что для этой задачи существует другой метод, для которого доказана оптимальность, тогда придется все переделывать.

Задача учебная или из практики? Если учебная, то преподаватель должен был дать литературу.

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

Однако, у меня другая ситуация: у меня нет скрытых компонент.

У вас $X_{t}$, $t \in (t_{i}, t_{i+1})$ скрыто.

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

Сейчас я вижу две возможные стратегии оценки:
1) На интервале времени $(t_{i}, t_{i+1})$ ($i=1,..,k$) значение процесса $X_{t}$ оцениваем как условное математическое ожидание $E(X_{t}|X_{t_{i}})$. Аналогично предсказываем значение в будущем при $t>t_{k}$: $\hat{X_{t}}=E(X_{t}|X_{t_{k}})$.

ОК

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

2) Если бы мне удалось получить вероятность нахождения процесса в произвольном состоянии $A=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ в момент времени $t$ при известном значении процесса в начальный момент момент времени: $P(X_{t}=A|X_{0})$, тогда на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ значение процесса $X_{t}$ оценивалось бы как состояние c максимальной вероятностью: $ \max_{A}(P(X_{t}=A|X_{t_{i}}))$. Аналогично, предсказывалось бы значение в произвольный момент времени при $t>t_{k}.$

Не понимаю, для стационарной цепи маркова безразличны конкретные моменты времени, стоящие до и после знака условия.

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

I) Меня смущает, что при оценке значений на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ берется оценка условного математического ожидания (или условных вероятностей) при условии только значения $X_{t_{i}}$, но ведь известно и значение в момент $X_{t_{i+1}}$. Может быть это тоже как-нибудь можно учитывать?

Да, подсчитать ожидание при заданных $X_{t_{i}}$ и $X_{t_{i+1}}$. Выводится по подобию уравнения Колмогорова. В этом случае будет сглаживание (интерполяция), а не прогноз (экстраполяция).

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

Существуют же и другие (фильтр Калмана, фильтр частиц и пр.)

Классический фильтр Калмана оценивает ненаблюдаемые величины именно в моменты времени, совпадающие с моментами наблюдения. Фильтр частиц - это метод решения нелинейного фильтра Калмана.

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

Особенно с учетом того, что значения получаются не целыми. Т. е. надо округлять, а это дополнительная ошибка.

Мат.ожидание почти всегда будет нецелочисленным, даже для целочисленных случайных величин. Вы, возможно, во 2-й стратегии вы пытались описать максимизацию правдоподобия - это может быть как вариант. Ещё вариант, используя формулу Байеса, подсчитать апостериорные вероятности и вабрать из них наибольшую, получится апостериорная мода. Или методом перебора найти оценку, минимизирующую дисперсия, учитывая счётность числа состояний это займёт довольно много времени, зато точно получим оптимальную оценку в смысле квадратичного критерия.

[B_u_b_a]

Большое спасибо за Ваш ответ.

Цитата:

Задача учебная или из практики? Если учебная, то преподаватель должен был дать литературу.

Пока задача учебная. С литературой я сам протупил - сказал, что нашел литературу, а потом понял, что не то я нашел. Буду благодарен, если Вы посоветуете какую-нибудь хорошую литературу, желательно на русском.

Методы:
1. Условное математическое ожидание.
Интерполяция:

$$ \hat{X}_{t}=E(X_{t}|X_{t_{i}}, X_{t_{i+1}}), \forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$

Экстраполяция:

$$ \hat{X}_{t}=E(X_{t}|X_{t_{k}}), \forall t>t_{k} $$

2. Метод максимального правдоподобия.
Интерполяция:

$$\forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k}|X_{0}=x_{0}, X_{t}=A)}= $$

$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t}=A, X_{t_{i+1}}=x_{i+1}, X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{0}=x_{0}, X_{t}=A)}= $$

$$ =argmax_{A}P(X_{0}=x_{0}) \cdot P(X_{t_{1}}=x_{1}|X_{0}=x_{0}) \cdot P(X_{t_{2}}=x_{2}|X_{t_{1}}=x_{1}) \cdot $$

$$ \cdot ... \cdot P(X_{t_{i}}=x_{i}|X_{t_{i-1}}=x_{i-1}) \cdot P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A) \cdot ... \cdot $$

$$ \cdot P(X_{t_{k}}=x_{k}|X_{t_{k-1}}=x_{k-1}) \cdot \frac {1}{P(X_{0}=x_{0}) \cdot P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0})} = $$

$$ =argmax_{A}{\frac {P(X_{t}=A| X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A)}{P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0})} \cdot \operatorname{const}} $$

Экстраполяция:

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{\frac {P(X_{t}=A| X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0})} \cdot \operatorname{const}}, \forall t>t_{k} $$

3. Я не уверен, что этот метод существует, хотя мне он кажется абсолютно логичным.
Интерполяция:

$$\forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k})}= $$

$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t}=A, X_{t_{i+1}}=x_{i+1}, ...,X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t_{i+1}}=x_{i+1},..., X_{t_{k}}=x_{k})}= $$

$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A)}{P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1})}= $$

$$ =argmax_{A}P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A) \cdot \operatorname{const} $$

Экстраполяция:

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t}=A| X_{t_{k}}=x_{k}) \cdot \operatorname{const}}, \forall t>t_{k} $$

4.

Цитата:

Или методом перебора найти оценку, минимизирующую дисперсию

Вот тут не понял. Просто дисперсию? $ D(X_{t})=E(X_{t}-E(X_{t}))^2 $? А минимизировать по чему? Или минимизировать ошибку:
$ \min_{\hat{X}_{t}}{E(\hat{X}_{t}-X_{t})^2} $, где $X_{t}$ - реальные значения, а $\hat{X}_{t}$ - прогноз. Но реальные значения мы знаем только в нескольких точках. В этих точках можно положить $\hat{X}_{t}=X_{t}$, тогда ошибка будет нулевая.

Еще вопрос:
I. если я буду находить значение оценки случайного процесса $\hat{X}_{t}$ поточечно не получится ли, что график будет сильно изломан: в двух близких точках, значение оценок будут сильно отличаться?
II. "апостериорная мода" - это какой метод 2 или 3? Или ни тот ни другой?

[dsge]

B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):

Буду благодарен, если Вы посоветуете какую-нибудь хорошую литературу, желательно на русском.

Литературу, непосредственно применимую к вашей задаче, я не знаю. Из общетеоретической, посвященной фильтрации случайных процессов можно отметить: Розанов «Стационарные случайные процессы», Ширяев «Вероятность», Липтцер и Ширяев «Статистика случайных процессов». В последней рассматриваются примеры процессов, описываемых стох.диффурами.

B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):

Или минимизировать ошибку:
$ \min_{\hat{X}_{t}}{E(\hat{X}_{t}-X_{t})^2} $, где $X_{t}$ - реальные значения, а $\hat{X}_{t}$ - прогноз. Но реальные значения мы знаем только в нескольких точках.

$X_{t}$ - возможные значения процесса и получится среднеквадратическая ошибка. Хотя, наверное, проще просто перебрать вектора $\hat{X}_{t}$ - ближайшие целочисленные соседи к условному мат.ожиданию и выбрать с минимальной среднеквадратической ошибкой.

B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):

I. если я буду находить значение оценки случайного процесса $\hat{X}_{t}$ поточечно не получится ли, что график будет сильно изломан: в двух близких точках, значение оценок будут сильно отличаться?

Если за оценку брать условное мат.ожидание, то моя интуиция подсказывает, что получится гладкая кривая (прямая?), соединяющая точки $X_{t_k}$ и $X_{t_{k+1}}$ . Хотя, она может обманывать.

B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):

II. "апостериорная мода" - это какой метод 2 или 3? Или ни тот ни другой?

Похоже на метод 3, если под $A$ понимать точку n-мерной целочисленной решетки.

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

а потом выяснится, что для этой задачи существует другой метод, для которого доказана оптимальность,

Вы не указали критерий вашей оптимальности. Условное мат.ожидание будет оптимальным в смысле минимума дисперсии ошибки.

[Henrylee]

B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):

Известны вероятности переходов за малый интервал времени $h$ ($h \to 0$).

А какие они, эти вероятности?

[B_u_b_a]

Цитата:

Липцер и Ширяев «Статистика случайных процессов»

Да, именно это я и нашел. Но я там ничего не понял. Моих знаний явно не хватает для понимания этой книги.

Цитата:

Вы не указали критерий вашей оптимальности. Условное мат.ожидание будет оптимальным в смысле минимума дисперсии ошибки.

Да, минимум дисперсии ошибки подойдет. Только я кажется ошибся, в первом методе нужно считать вот такое условное математическое ожидание: $E(X_{t_{1}}, X_{t_{2}},..., X_{t_{k}}|X_{0}, X_{t}=A)$
Для минимума суммы модулей ошибки вроде бы метод максимального правдоподобия должен быть оптимальным.

Цитата:

Похоже на метод 3, если под $A$ понимать точку n-мерной целочисленной решетки.

А мне почему-то кажется, что это должен быть метод максимального правдоподобия, который второй. Только вот не могу найти, где я слышал про связь метода максимального правдоподобия и моды распределения.

Цитата:

А какие они, эти вероятности?

Вида $\operatorname{const} \cdot X^{i}_{t}\cdot h +o(h) $. Если бы вектора были одномерными, то это был бы обычный процесс рождения и гибели. А здесь некоторые "особи" могут переходить в другие, а могут "порождать" новые. Для процессов рождения и гибели алгоритм нахождения вероятностей такой:
1. выписать уравнения Колмогорова;
2. перейти от вероятностей состояний к производящей функции, просуммировав уравнения (вероятности). Получается уравнение в частных производных;
3. ищется решение полученного уравнения;
4. от производящей функции переходят к вероятностям: производящая функция раскладывается в ряд Тейлора, коэффициенты при $x$ равны искомым вероятностям.

Я пытался делать по аналогии: выписал уравнения и перешел к многомерной производящей функции. Но дальше я застрял: для произвольного $n$ решить уравнение в частных производных я не смог. Для случая $n=4$ я смог найти решение, но оно получилось громоздким. Как его разложить в ряд Тейлора несколько раз я не знаю. Но я нашел статью с похожей моделью, вроде бы там вероятности посчитаны. Разбираться с вероятностями я буду после того, как пойму, что вообще считать надо.

[dsge]

Почему у вас везде $X_0$ фигурирует? Процессу в момент $t$ абсолютно всё равно, что было в нуле, если известно значение в момент $t_k$, $0<t_k<t$. На то он и Марковский.

[B_u_b_a]

В общем, я буду пытаться построить оценку максимального правдоподобия и условное математическое ожидание: $E(X_{t_{1}}, X_{t_{2}},..., X_{t_{k}}|X_{t}=A)$.

Цитата:

Почему у вас везде $X_0$ фигурирует? Процессу в момент $t$ абсолютно всё равно, что было в нуле, если известно значение в момент $t_k$, $0<t_k<t$. На то он и Марковский.

Я не знаю как по другому. Метод максимального правдоподобия без $X_{0}$:
Интерполяция:

$$\forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k}| X_{t}=A)}= $$

$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t}=A, X_{t_{i+1}}=x_{i+1}, X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{t}=A)}$$

А как посчитать ${P(X_{t}=A)}$ ? По формуле полной вероятности?
${P(X_{t}=A)}=\sum_{x}{P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x)} \cdot P(X_{t_{i}}=x) $, но тогда чему равно $P(X_{t_{i}}=x)$?

[dsge]

Может быть следует максимизировать следующее:
$argmax_{A}P(X_{t_{i+1}}|A )P(A|X_{t_{i}})$
$X_{t_{i}}$ и $X_{t_{i+1}}$ вам уже известны.

[B_u_b_a]

Цитата:

Может быть следует максимизировать следующее:
$argmax_{A}P(X_{t_{i+1}}|A )P(A|X_{t_{i}})$
$X_{t_{i}}$ и $X_{t_{i+1}}$ вам уже известны.

Это как раз третий метод. Но почему стоит использовать его? Чем вообще отличается (с точки зрения аргументации и причин использования) третий метод:

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t}=A|X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k})}$$

от второго (метода максимального правдоподобия):

$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k}|X_{t}=A)} $$

? Завтра попробую поискать на эту тему.

[B_u_b_a]

Я начал читать книжку Липцера, Ширяева.

Я взял процесс чистого рождения, он попроще, разберусь с ним, затем вернусь к своему процессу. Задача записывается так:
На стохастическом базисе $(\Omega, F, (F_{t})_{t \geqslant 0}, P)$ задан случайный процесс $(X_{t}, Y_{t})$, где $X_{t}$-ненаблюдаемый случайный процесс, $Y_{t}$ - процесс наблюдений. Процесс $X_{t}$ допускает следующее разложение:

$$ X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}{a \cdot X_{s}ds}+x_{t} $$

где $(x_{t}, F_{t})$ - мартингал. $Y_{t}$-наблюдения за процессом $X_{t}$. Наблюдения происходят в случайные моменты времени. Пусть это будут моменты скачков однородного пуассоновского процесса $\pi_{t}$ с постоянной интенсивностью. Требуется по наблюдениям $Y_{t}$ построить интерполяцию и экстраполяцию процесса $X_{t}$.

Цель переформулировки задачи - привести процесс в вид приведенный в учебнике, и воспользоваться готовыми формулами из главы 8 (три
страницы об оптимальной интерполяции из книги: http://rghost.ru/7F9Y9J7JT/image.png http://rghost.ru/7gyNvJ2yz/image.png http://rghost.ru/6MN8mVsP8/image.png)

Оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой интерполяции является $E(X_{s}|F_{t}^{Y, \pi})$, где $F_{t}^{Y, \pi}$ - сигма-алгебра порожденная процессами $Y_{t}$, $\pi_{t}$.


Вопрос: а как правильно записать процесс $Y_{t}$? В интернете я встретил вот такую запись:

$$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s}) \cdot d\pi_{s}}$$

а еще вот такую:$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}{(X_{s-}-Y_{s-}) \cdot d\pi_{s}}$, хотя мне кажется, что более логична вот такая:
$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s-}) \cdot d\pi_{s}}$


Дальше используем, что процесс $\pi_{t}$ может быть представлен в виде (см. книгу Липцера, Ширяева на 575 стр.): $\pi_{t}=\lambda \cdot t + W_{t}$, где $W_{t}$ - винеровский в широком смысле процесс. Поэтому процесс $Y_{t}$ можно переписать вот так:

$$Y_{t}=Y_{0}+\lambda \cdot \int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s-}) \cdot ds}+\int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s-}) \cdot dW_{s}}$$

Проблема такой записи для $Y_{t}$ в том, что выражение $(X_{t}-Y_{t-})$ должно быть отлично от нуля:
$(X_{t}-Y_{t-}) \geqslant C > 0$, потому что в формуле $E(X_{s}|F_{t}^{Y, \pi})$ на него делят. Еще одна проблема в том, что в формуле написано, что $W_{t}$ - должен быть винеровским процессом, а у меня получился винеровский в широком смысле.

[B_u_b_a]

Я построил интерполяцию для процесса чистого рождения:

(здесь черный график - процесс чистого рождения, красные точки - наблюдения, зеленый график - интерполяция)
по формуле:

$$ \hat{X}_{t}=E(X_{t}|X_{t_{i}}, X_{t_{i+1}})=\sum_{k}\frac {P(X_{t}=k|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=k)}{P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t_{i}}=x_{i})} \cdot k, \forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), 0 \leqslant i<n$$

Мой исходный процесс, который нужно интерполировать, многомерный, для него даже простой перебор состояний невозможен, вероятности состояний считать тяжело и может быть это удастся сделать только численно. В книге Липцера, Ширяева в ведении было написано, что зачастую вероятностями пользоваться неудобно, поэтому в главе 8 была предложена рекуррентная формула http://rghost.ru/7F9Y9J7JT/image.png http://rghost.ru/7gyNvJ2yz/image.png http://rghost.ru/6MN8mVsP8/image.png . Как ей пользоваться я не понял. Может кто-нибудь объяснит платно на примере процесса чистого рождения? - Пишите в личку.

Задача:
На стохастическом базисе $(\Omega, F, (F_{t})_{t \geqslant 0}, P)$ задан случайный процесс $(X_{t}, Y_{t})$, где $X_{t}$-ненаблюдаемый случайный процесс, $Y_{t}$ - процесс наблюдений. Процесс $X_{t}$ - процесс чистого рождения - количество его состояний дискретно, счетно, вероятности переходов равны:

$$P(X_{t+h}-X_{t}=1|X_{t}=x)=\lambda \cdot x \cdot h + o(h), h \to 0, h>0, \lambda>0, x \in N$$

Процесс начинается из некоторого состояния $X_{0}$. На сколько я знаю, процесс допускает следующее разложение:

$$ X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}{\lambda \cdot X_{s}ds}+x_{t} $$

где $(x_{t}, F_{t})$ - мартингал. Явный вид мартингала я не знаю. Пусть на интервале времени $[0,t]$ известно значение процесса в двух точках: $X_{0}=a$ и $X_{t}=b$ - это и есть наблюдения $Y_{t}$. Требуется узнать значения процесса $X_{s}$ при $0<s<t$, воспользовавшись теоремой из книжки. Результат должен быть как на картинке.

[lin8773]

Возможно аналитическое решение вашей задачи представлено здесь http://www.hrpub.org/journals/article_info.php?aid=1469