2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка значений случайного процесса
Сообщение22.05.2015, 14:23 


16/05/15
18
Есть $n$-мерный случайный процесс $X_{t}=(X_{t}^{1}, X_{t}^{2}, ... , X_{t}^{n})$, $X_{t}^{i}$ - это целые неотрицательные числа. Известно его математическое ожидание $E(X_{t})$ в произвольный момент времени. Известно несколько наблюдений процесса в моменты времени $t_1,...t_k$. Нужно оценить значения процесса в произвольный момент времени между наблюдениями, а также предсказать его значение во времени. Дисперсия не известна (хотя может быть полученна грубая численная оценка дисперсии). Разница $X_{t}-E(X_{t})$ - это точно не гауссовская случайная величина.

1 Какой существует оптимальный (в среднеквадратическом смысле) метод оценки случайного процесса $X_{t}$? Если дисперсия не известна.
Пока я думаю в качестве оценки значений $X_{t}$ в ненаблюдаемые моменты времени брать его математическое ожидание. Имеет ли смысл, что-то добавлять еще если дисперсия не известна, а хочется каких-то гарантий (оптимальности этой оценки)?

2 Если вдруг, я как-нибудь узнаю эту дисперсию, какой тогда будет оптимальный метод оценки?

Подойдет ли для решения этих двух задач фильтр Калмана? Я пока плохо понимаю что это, стоит ли в нем разбираться или фильтр Калмана тут ни при чем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение23.05.2015, 12:07 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Посмотрите литературу по Markov-Switching процессам. Если процесс дискретный, то его естественно описывать Марковской цепью. Идея оптимальной оценки та же что и фильтре Калмана - это условое матожидание; но для дискреных процессов лучше оценивать вероятности нахождения процесс в том или ином состоянии, учитывая наблюдения (с использованием формулы Байеса) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение24.06.2015, 11:39 


16/05/15
18
Здравствуйте. Я посмотрел одну статью по Markov-Switching процессам. Кажется я понял примерный подход. Однако, у меня другая ситуация: у меня нет скрытых компонент. Процесс является стационарной марковской цепью с непрерывным временем. Количество всех возможных дискретных состояний бесконечно (счетно). Известны вероятности переходов за малый интервал времени $h$ ($h \to 0$). Вероятности состояний в произвольный момент времени получить мне не удалось (из-за многомерности процесса и бесконечного количества возможных состояний). Однако, я знаю условное математическое ожидание процесса $X_{t}$ при условии известного начального значения $X_{0}$.

Сейчас я вижу две возможные стратегии оценки:

1) На интервале времени $(t_{i}, t_{i+1})$ ($i=1,..,k$) значение процесса $X_{t}$ оцениваем как условное математическое ожидание $E(X_{t}|X_{t_{i}})$. Аналогично предсказываем значение в будущем при $t>t_{k}$: $\hat{X_{t}}=E(X_{t}|X_{t_{k}})$.

2) Если бы мне удалось получить вероятность нахождения процесса в произвольном состоянии $A=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ в момент времени $t$ при известном значении процесса в начальный момент момент времени: $P(X_{t}=A|X_{0})$, тогда на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ значение процесса $X_{t}$ оценивалось бы как состояние c максимальной вероятностью: $ \max_{A}(P(X_{t}=A|X_{t_{i}}))$. Аналогично, предсказывалось бы значение в произвольный момент времени при $t>t_{k}.$


Что Вы об этом думаете? К сожалению, мне не с кем посоветоваться, поэтому пишу сюда.

I) Меня смущает, что при оценке значений на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ берется оценка условного математического ожидания (или условных вероятностей) при условии только значения $X_{t_{i}}$, но ведь известно и значение в момент $X_{t_{i+1}}$. Может быть это тоже как-нибудь можно учитывать?

II) Какой способ выбрать (если бы мне удалось посчитать вероятности)? Существуют же и другие (фильтр Калмана, фильтр частиц и пр.), я в них ничего не понимаю, я боюсь, что если я сейчас сделаю, а потом выяснится, что для этой задачи существует другой метод, для которого доказана оптимальность, тогда придется все переделывать.

III) Сейчас я почти полностью реализовал подход с условным математическим ожиданием. Работает не очень хорошо (а с чем сравнить?). Особенно с учетом того, что значения получаются не целыми. Т. е. надо округлять, а это дополнительная ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение24.06.2015, 15:26 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
я боюсь, что если я сейчас сделаю, а потом выяснится, что для этой задачи существует другой метод, для которого доказана оптимальность, тогда придется все переделывать.

Задача учебная или из практики? Если учебная, то преподаватель должен был дать литературу.
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
Однако, у меня другая ситуация: у меня нет скрытых компонент.

У вас $X_{t}$, $t \in (t_{i}, t_{i+1})$ скрыто.
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
Сейчас я вижу две возможные стратегии оценки:
1) На интервале времени $(t_{i}, t_{i+1})$ ($i=1,..,k$) значение процесса $X_{t}$ оцениваем как условное математическое ожидание $E(X_{t}|X_{t_{i}})$. Аналогично предсказываем значение в будущем при $t>t_{k}$: $\hat{X_{t}}=E(X_{t}|X_{t_{k}})$.

ОК
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
2) Если бы мне удалось получить вероятность нахождения процесса в произвольном состоянии $A=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ в момент времени $t$ при известном значении процесса в начальный момент момент времени: $P(X_{t}=A|X_{0})$, тогда на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ значение процесса $X_{t}$ оценивалось бы как состояние c максимальной вероятностью: $ \max_{A}(P(X_{t}=A|X_{t_{i}}))$. Аналогично, предсказывалось бы значение в произвольный момент времени при $t>t_{k}.$

Не понимаю, для стационарной цепи маркова безразличны конкретные моменты времени, стоящие до и после знака условия.
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
I) Меня смущает, что при оценке значений на интервале времени $(t_{i}, t_{i+1}) (i=1,..,k)$ берется оценка условного математического ожидания (или условных вероятностей) при условии только значения $X_{t_{i}}$, но ведь известно и значение в момент $X_{t_{i+1}}$. Может быть это тоже как-нибудь можно учитывать?

Да, подсчитать ожидание при заданных $X_{t_{i}}$ и $X_{t_{i+1}}$. Выводится по подобию уравнения Колмогорова. В этом случае будет сглаживание (интерполяция), а не прогноз (экстраполяция).
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
Существуют же и другие (фильтр Калмана, фильтр частиц и пр.)

Классический фильтр Калмана оценивает ненаблюдаемые величины именно в моменты времени, совпадающие с моментами наблюдения. Фильтр частиц - это метод решения нелинейного фильтра Калмана.
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
Особенно с учетом того, что значения получаются не целыми. Т. е. надо округлять, а это дополнительная ошибка.

Мат.ожидание почти всегда будет нецелочисленным, даже для целочисленных случайных величин. Вы, возможно, во 2-й стратегии вы пытались описать максимизацию правдоподобия - это может быть как вариант. Ещё вариант, используя формулу Байеса, подсчитать апостериорные вероятности и вабрать из них наибольшую, получится апостериорная мода. Или методом перебора найти оценку, минимизирующую дисперсия, учитывая счётность числа состояний это займёт довольно много времени, зато точно получим оптимальную оценку в смысле квадратичного критерия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение26.06.2015, 17:38 


16/05/15
18
Большое спасибо за Ваш ответ.

Цитата:
Задача учебная или из практики? Если учебная, то преподаватель должен был дать литературу.

Пока задача учебная. С литературой я сам протупил - сказал, что нашел литературу, а потом понял, что не то я нашел. Буду благодарен, если Вы посоветуете какую-нибудь хорошую литературу, желательно на русском.

Методы:
1. Условное математическое ожидание.
Интерполяция:
$$ \hat{X}_{t}=E(X_{t}|X_{t_{i}}, X_{t_{i+1}}), \forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$
Экстраполяция:
$$ \hat{X}_{t}=E(X_{t}|X_{t_{k}}), \forall t>t_{k} $$

2. Метод максимального правдоподобия.
Интерполяция:
$$\forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k}|X_{0}=x_{0}, X_{t}=A)}= $$
$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t}=A, X_{t_{i+1}}=x_{i+1}, X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{0}=x_{0}, X_{t}=A)}= $$
$$ =argmax_{A}P(X_{0}=x_{0}) \cdot P(X_{t_{1}}=x_{1}|X_{0}=x_{0}) \cdot P(X_{t_{2}}=x_{2}|X_{t_{1}}=x_{1}) \cdot $$
$$ \cdot ... \cdot P(X_{t_{i}}=x_{i}|X_{t_{i-1}}=x_{i-1}) \cdot P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A) \cdot ... \cdot $$
$$ \cdot P(X_{t_{k}}=x_{k}|X_{t_{k-1}}=x_{k-1}) \cdot \frac {1}{P(X_{0}=x_{0}) \cdot P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0})} = $$
$$ =argmax_{A}{\frac {P(X_{t}=A| X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A)}{P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0})} \cdot \operatorname{const}} $$

Экстраполяция:
$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{\frac {P(X_{t}=A| X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0})} \cdot \operatorname{const}}, \forall t>t_{k}  $$

3. Я не уверен, что этот метод существует, хотя мне он кажется абсолютно логичным.
Интерполяция:
$$\forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t}=A|X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k})}= $$
$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t}=A, X_{t_{i+1}}=x_{i+1}, ...,X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{0}=x_{0}, X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t_{i+1}}=x_{i+1},..., X_{t_{k}}=x_{k})}= $$
$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A)}{P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1})}= $$
$$ =argmax_{A}P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=A) \cdot \operatorname{const} $$

Экстраполяция:
$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t}=A| X_{t_{k}}=x_{k}) \cdot \operatorname{const}}, \forall t>t_{k}  $$
4.
Цитата:
Или методом перебора найти оценку, минимизирующую дисперсию

Вот тут не понял. Просто дисперсию? $ D(X_{t})=E(X_{t}-E(X_{t}))^2 $? А минимизировать по чему? Или минимизировать ошибку:
$ \min_{\hat{X}_{t}}{E(\hat{X}_{t}-X_{t})^2} $, где $X_{t}$ - реальные значения, а $\hat{X}_{t}$ - прогноз. Но реальные значения мы знаем только в нескольких точках. В этих точках можно положить $\hat{X}_{t}=X_{t}$, тогда ошибка будет нулевая.

Еще вопрос:
I. если я буду находить значение оценки случайного процесса $\hat{X}_{t}$ поточечно не получится ли, что график будет сильно изломан: в двух близких точках, значение оценок будут сильно отличаться?
II. "апостериорная мода" - это какой метод 2 или 3? Или ни тот ни другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение26.06.2015, 21:43 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):
Буду благодарен, если Вы посоветуете какую-нибудь хорошую литературу, желательно на русском.

Литературу, непосредственно применимую к вашей задаче, я не знаю. Из общетеоретической, посвященной фильтрации случайных процессов можно отметить: Розанов «Стационарные случайные процессы», Ширяев «Вероятность», Липтцер и Ширяев «Статистика случайных процессов». В последней рассматриваются примеры процессов, описываемых стох.диффурами.
B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):
Или минимизировать ошибку:
$ \min_{\hat{X}_{t}}{E(\hat{X}_{t}-X_{t})^2} $, где $X_{t}$ - реальные значения, а $\hat{X}_{t}$ - прогноз. Но реальные значения мы знаем только в нескольких точках.

$X_{t}$ - возможные значения процесса и получится среднеквадратическая ошибка. Хотя, наверное, проще просто перебрать вектора $\hat{X}_{t}$ - ближайшие целочисленные соседи к условному мат.ожиданию и выбрать с минимальной среднеквадратической ошибкой.

B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):
I. если я буду находить значение оценки случайного процесса $\hat{X}_{t}$ поточечно не получится ли, что график будет сильно изломан: в двух близких точках, значение оценок будут сильно отличаться?

Если за оценку брать условное мат.ожидание, то моя интуиция подсказывает, что получится гладкая кривая (прямая?), соединяющая точки $X_{t_k}$ и $X_{t_{k+1}}$ . Хотя, она может обманывать.
B_u_b_a в сообщении #1031292 писал(а):
II. "апостериорная мода" - это какой метод 2 или 3? Или ни тот ни другой?

Похоже на метод 3, если под $A$ понимать точку n-мерной целочисленной решетки.
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
а потом выяснится, что для этой задачи существует другой метод, для которого доказана оптимальность,

Вы не указали критерий вашей оптимальности. Условное мат.ожидание будет оптимальным в смысле минимума дисперсии ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.06.2015, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
B_u_b_a в сообщении #1030306 писал(а):
Известны вероятности переходов за малый интервал времени $h$ ($h \to 0$).

А какие они, эти вероятности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.06.2015, 16:03 


16/05/15
18
Цитата:
Липцер и Ширяев «Статистика случайных процессов»

Да, именно это я и нашел. Но я там ничего не понял. Моих знаний явно не хватает для понимания этой книги.

Цитата:
Вы не указали критерий вашей оптимальности. Условное мат.ожидание будет оптимальным в смысле минимума дисперсии ошибки.

Да, минимум дисперсии ошибки подойдет. Только я кажется ошибся, в первом методе нужно считать вот такое условное математическое ожидание: $E(X_{t_{1}}, X_{t_{2}},..., X_{t_{k}}|X_{0}, X_{t}=A)$
Для минимума суммы модулей ошибки вроде бы метод максимального правдоподобия должен быть оптимальным.

Цитата:
Похоже на метод 3, если под $A$ понимать точку n-мерной целочисленной решетки.

А мне почему-то кажется, что это должен быть метод максимального правдоподобия, который второй. Только вот не могу найти, где я слышал про связь метода максимального правдоподобия и моды распределения.

Цитата:
А какие они, эти вероятности?

Вида $\operatorname{const} \cdot X^{i}_{t}\cdot h +o(h) $. Если бы вектора были одномерными, то это был бы обычный процесс рождения и гибели. А здесь некоторые "особи" могут переходить в другие, а могут "порождать" новые. Для процессов рождения и гибели алгоритм нахождения вероятностей такой:
1. выписать уравнения Колмогорова;
2. перейти от вероятностей состояний к производящей функции, просуммировав уравнения (вероятности). Получается уравнение в частных производных;
3. ищется решение полученного уравнения;
4. от производящей функции переходят к вероятностям: производящая функция раскладывается в ряд Тейлора, коэффициенты при $x$ равны искомым вероятностям.

Я пытался делать по аналогии: выписал уравнения и перешел к многомерной производящей функции. Но дальше я застрял: для произвольного $n$ решить уравнение в частных производных я не смог. Для случая $n=4$ я смог найти решение, но оно получилось громоздким. Как его разложить в ряд Тейлора несколько раз я не знаю. Но я нашел статью с похожей моделью, вроде бы там вероятности посчитаны. Разбираться с вероятностями я буду после того, как пойму, что вообще считать надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.06.2015, 16:38 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Почему у вас везде $X_0$ фигурирует? Процессу в момент $t$ абсолютно всё равно, что было в нуле, если известно значение в момент $t_k$, $0<t_k<t$. На то он и Марковский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.06.2015, 18:11 


16/05/15
18
В общем, я буду пытаться построить оценку максимального правдоподобия и условное математическое ожидание: $E(X_{t_{1}}, X_{t_{2}},..., X_{t_{k}}|X_{t}=A)$.
Цитата:
Почему у вас везде $X_0$ фигурирует? Процессу в момент $t$ абсолютно всё равно, что было в нуле, если известно значение в момент $t_k$, $0<t_k<t$. На то он и Марковский.

Я не знаю как по другому. Метод максимального правдоподобия без $X_{0}$:
Интерполяция:
$$\forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), i<k $$$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k}| X_{t}=A)}= $$
$$ =argmax_{A}\frac {P(X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2},..., X_{t_{i}}=x_{i}, X_{t}=A, X_{t_{i+1}}=x_{i+1}, X_{t_{k}}=x_{k})}{P(X_{t}=A)}$$
А как посчитать ${P(X_{t}=A)}$ ? По формуле полной вероятности?
${P(X_{t}=A)}=\sum_{x}{P(X_{t}=A|X_{t_{i}}=x)} \cdot P(X_{t_{i}}=x) $, но тогда чему равно $P(X_{t_{i}}=x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.06.2015, 20:41 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Может быть следует максимизировать следующее:
$argmax_{A}P(X_{t_{i+1}}|A )P(A|X_{t_{i}})$
$X_{t_{i}}$ и $X_{t_{i+1}}$ вам уже известны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.06.2015, 23:57 


16/05/15
18
Цитата:
Может быть следует максимизировать следующее:
$argmax_{A}P(X_{t_{i+1}}|A )P(A|X_{t_{i}})$
$X_{t_{i}}$ и $X_{t_{i+1}}$ вам уже известны.

Это как раз третий метод. Но почему стоит использовать его? Чем вообще отличается (с точки зрения аргументации и причин использования) третий метод:
$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t}=A|X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k})}$$
от второго (метода максимального правдоподобия):
$$ \hat{X}_{t}=argmax_{A}{P(X_{t_{1}}=x_{1},X_{t_{2}}=x_{2},...,X_{t_{k}}=x_{k}|X_{t}=A)} $$
? Завтра попробую поискать на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение08.07.2015, 15:38 


16/05/15
18
Я начал читать книжку Липцера, Ширяева.

Я взял процесс чистого рождения, он попроще, разберусь с ним, затем вернусь к своему процессу. Задача записывается так:
На стохастическом базисе $(\Omega, F, (F_{t})_{t \geqslant 0}, P)$ задан случайный процесс $(X_{t}, Y_{t})$, где $X_{t}$-ненаблюдаемый случайный процесс, $Y_{t}$ - процесс наблюдений. Процесс $X_{t}$ допускает следующее разложение:
$$ X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}{a \cdot X_{s}ds}+x_{t} $$
где $(x_{t}, F_{t})$ - мартингал. $Y_{t}$-наблюдения за процессом $X_{t}$. Наблюдения происходят в случайные моменты времени. Пусть это будут моменты скачков однородного пуассоновского процесса $\pi_{t}$ с постоянной интенсивностью. Требуется по наблюдениям $Y_{t}$ построить интерполяцию и экстраполяцию процесса $X_{t}$.

Цель переформулировки задачи - привести процесс в вид приведенный в учебнике, и воспользоваться готовыми формулами из главы 8 (три
страницы об оптимальной интерполяции из книги: http://rghost.ru/7F9Y9J7JT/image.png http://rghost.ru/7gyNvJ2yz/image.png http://rghost.ru/6MN8mVsP8/image.png)

Оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой интерполяции является $E(X_{s}|F_{t}^{Y, \pi})$, где $F_{t}^{Y, \pi}$ - сигма-алгебра порожденная процессами $Y_{t}$, $\pi_{t}$.


Вопрос: а как правильно записать процесс $Y_{t}$? В интернете я встретил вот такую запись:
$$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s}) \cdot d\pi_{s}}$$
а еще вот такую:$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}{(X_{s-}-Y_{s-}) \cdot d\pi_{s}}$, хотя мне кажется, что более логична вот такая:
$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s-}) \cdot d\pi_{s}}$


Дальше используем, что процесс $\pi_{t}$ может быть представлен в виде (см. книгу Липцера, Ширяева на 575 стр.): $\pi_{t}=\lambda \cdot t + W_{t}$, где $W_{t}$ - винеровский в широком смысле процесс. Поэтому процесс $Y_{t}$ можно переписать вот так:
$$Y_{t}=Y_{0}+\lambda \cdot \int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s-}) \cdot ds}+\int_{0}^{t}{(X_{s}-Y_{s-}) \cdot dW_{s}}$$
Проблема такой записи для $Y_{t}$ в том, что выражение $(X_{t}-Y_{t-})$ должно быть отлично от нуля:
$(X_{t}-Y_{t-}) \geqslant C > 0$, потому что в формуле $E(X_{s}|F_{t}^{Y, \pi})$ на него делят. Еще одна проблема в том, что в формуле написано, что $W_{t}$ - должен быть винеровским процессом, а у меня получился винеровский в широком смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение28.08.2015, 19:02 


16/05/15
18
Я построил интерполяцию для процесса чистого рождения:
Изображение
(здесь черный график - процесс чистого рождения, красные точки - наблюдения, зеленый график - интерполяция)
по формуле:
$$ \hat{X}_{t}=E(X_{t}|X_{t_{i}}, X_{t_{i+1}})=\sum_{k}\frac {P(X_{t}=k|X_{t_{i}}=x_{i}) \cdot P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t}=k)}{P(X_{t_{i+1}}=x_{i+1}|X_{t_{i}}=x_{i})} \cdot k,     \forall t \in (t_{i}, t_{i+1}), 0 \leqslant i<n$$
Мой исходный процесс, который нужно интерполировать, многомерный, для него даже простой перебор состояний невозможен, вероятности состояний считать тяжело и может быть это удастся сделать только численно. В книге Липцера, Ширяева в ведении было написано, что зачастую вероятностями пользоваться неудобно, поэтому в главе 8 была предложена рекуррентная формула http://rghost.ru/7F9Y9J7JT/image.png http://rghost.ru/7gyNvJ2yz/image.png http://rghost.ru/6MN8mVsP8/image.png . Как ей пользоваться я не понял. Может кто-нибудь объяснит платно на примере процесса чистого рождения? - Пишите в личку.

Задача:
На стохастическом базисе $(\Omega, F, (F_{t})_{t \geqslant 0}, P)$ задан случайный процесс $(X_{t}, Y_{t})$, где $X_{t}$-ненаблюдаемый случайный процесс, $Y_{t}$ - процесс наблюдений. Процесс $X_{t}$ - процесс чистого рождения - количество его состояний дискретно, счетно, вероятности переходов равны:
$$P(X_{t+h}-X_{t}=1|X_{t}=x)=\lambda \cdot x \cdot h + o(h), h \to 0, h>0, \lambda>0, x \in N$$
Процесс начинается из некоторого состояния $X_{0}$. На сколько я знаю, процесс допускает следующее разложение:
$$ X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}{\lambda \cdot X_{s}ds}+x_{t} $$
где $(x_{t}, F_{t})$ - мартингал. Явный вид мартингала я не знаю. Пусть на интервале времени $[0,t]$ известно значение процесса в двух точках: $X_{0}=a$ и $X_{t}=b$ - это и есть наблюдения $Y_{t}$. Требуется узнать значения процесса $X_{s}$ при $0<s<t$, воспользовавшись теоремой из книжки. Результат должен быть как на картинке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка значений случайного процесса
Сообщение03.05.2016, 22:02 


03/05/16
1
Возможно аналитическое решение вашей задачи представлено здесь http://www.hrpub.org/journals/article_info.php?aid=1469

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group