Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, представляю свои рассуждения по физической задачке с точки зрения математики.
Любое тело с массой придает ускорение другому телу за счет силы тяготения, согласно закону Ньютона
$ma=F=G\frac{mM}{r^2}$
Отсюда ускорение свободного падения на поверхности Земли или другой планеты вычисляется $a=G\frac{M}{r^2}$,
при этом предполагается, что масса тела сконцентрирована в центре масс планеты, то есть в точке, а ускорение определяется на расстоянии $R$ от точки с массой $M$.
Так для Земли $g=G\frac{M}{R^2}$, где $R$ - радиус планеты.
Но планета не точечный объект, соответственно и вычисления должны быть другими.
Если предположить, что Земля представляет собой шар радиуса $R$ с равномерно распределенной массой $M$, то вычисления ускорения на поверхности должны вычисляться следующим образом.
Свяжем с произвольной точкой на поверхности стандартную сферическую систему координат, причем ось $Y$ проходит через центр шара.
Из симметрии результирующий вектор ускорения направлен по оси $Y$.

$da_y=G\frac{dM}{r^2}\sin{\theta}=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}dV=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}r^2\sin{\theta} dr d\theta d\varphi=\frac{3GM}{4\pi R^3}(\sin{\theta})^2 dr d\theta d\varphi$

Уравнение сферы с началом координат на самой сфере имеет вид $r=2R\sin\theta\sin\varphi$
Соответственно получаем

$a_y=\frac{3GM}{4\pi R^3}\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^{2R\sin\theta\sin\varphi}(\sin{\theta})^2 dr d\theta d\varphi=\frac{4GM}{\pi R^2}>g=\frac{GM}{ R^2}$

Получается, что вблизи планеты формула тяготения Ньютона носит приблизительный характер.
Если ошибаюсь, то в каком месте?

[ИСН]

В каком-то; надо ещё раз посмотреть на все эти интегралы.
Исходное Ваше соображение - правильное; Земля не точка, это надо учесть. Так вот, все эти вычисления уже были проведены, и оказалось, что результат такой же, как если бы она была точка. Ну, типа случайно так совпало.

[amon]

ИСН в сообщении #1031303 писал(а):

Так вот, все эти вычисления уже были проведены

Ньютоном. Упарился, бедный, поскольку теоремы Гаусса не знал.

[Geen]

Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):

Из симметрии результирующий вектор ускорения направлен по оси $Y$.

$\varphi$ и $\theta$ при таком выборе симметричны, но написанная далее формула - нет...

[amon]

Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):

Уравнение сферы с началом координат на самой сфере имеет вид $r=2R\sin\theta\sin\varphi$

Вы в этом уверены?

-- 26.06.2015, 18:36 --

Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):

$\int_0^\pi\int_0^\pi\dots$

И в этом тоже?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вроде как физика

[Побережный Александр]

Связь между сферическими и декартовыми координатами
$x=r\sin\theta\cos\varphi$
$y=r\sin\theta\sin\varphi$
$z=r\cos\varphi$

Уравнение сферы в декартовых координатах, если начало координат на поверхности сферы, а ось $Y$ будет проходить через центр сферы:
$x^2+(y-R)^2+z^2=R^2$
$x^2+y^2-2yR+R^2+z^2=R^2$
$x^2+y^2+z^2=2yR$
$r^2=2Rr\sin\theta\sin\varphi$
$r=2R\sin\theta\sin\varphi$
получили уравнение сферы в новых координатах.

Элемент объема $dV$ в декартовых координатах будет выглядеть в сферических координатах так:
$dxdydz=r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi$

А дальше интегрируется по все трем переменным

[no_name]

Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):

Если предположить, что Земля представляет собой шар радиуса $R$ с равномерно распределенной массой $M$

Получим тот же результат если предполагать, что Земля — точка и этот результат вроде как очевидный, поэтому длинные интегралы в первом посте меня смущают.

Несмотря на то, что для точки и шара результат одинаков это всё равно остаётся приближением, потому что Земля конечно же не точка, но и не шар.



Было бы очень интересно посмотреть какую-нибудь карту или таблицу где и как различается $g$ на Земле, в частности точки где оно минимально/максимально, в каком знаке вообще видны различия.

[Geen]

Побережный Александр в сообщении #1031418 писал(а):

А дальше интегрируется по все трем переменным

А интегралы снова симметричны?

-- 27.06.2015, 00:38 --

no_name в сообщении #1031431 писал(а):

где и как различается $g$ на Земле

Где именно??

И по поводу картинки - разница "высот" порядка 20 км, радиус - 6000 км... Это, примерно, точность "бильярдного шара"....

[Psi funcsioner]

Правильно ли я понимаю,что ускорение свободного падения у поверхности Земли есть следствие движения по временной координате по искривленным геодезическим,когда тело-Земля движется "во времени"по прямой(если точно,то тоже по искривленной Солнцем,но относительно малого радиуса),а падающий на поверхность предмет-по дуге.Проецируя на пространственные координаты перемещения по временным,получаем нарастающую скорость движения предмета по направлению к центру Земли,то самое ускорение как степень искривления Землей на себя пространства-времени вокруг себя.

[amon]

Побережный Александр в сообщении #1031418 писал(а):

$r=2R\sin\theta\sin\varphi$

Мне лень искать у Вас ошибку, но, IMHO, плоскости $\theta=0$ и $\varphi=0$ взаимно перпендикулярны, и не могут одновременно быть касательными к сфере. Если сферу "положить" на плоскость $XY$, а ось $Z$ направить через центр, то уравнение ее будет $r=2R\sin\theta$, при этом $0\le\theta\le\pi,\; 0\le\varphi\le2\pi$, что проще. А вообще, это все интегрируется мгновенно по теореме Гаусса также, как для напряженности поля равномерно заряженной сферы, - математически то задачи одинаковые, и ответ, естественно, получается какой надо.

[Prikol]

amon в сообщении #1031448 писал(а):

А вообще, это все интегрируется мгновенно по теореме Гаусса...

Для сферического коня в вакууме - действительно мнгновенно.
Если распределение плотности не зависит от углов (от радиуса может зависеть), то тоже мнгновенно.
Но реальная планета - это не сферический конь, хоть и в вакууме.
Кстати, по вариациям поля тяготения измеряемым с помощью спутников определяют более тяжелые или легкие вкрапления в толще планеты.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Согласно картинке, Земля имеет форму Бедного Йорика. Причём, Йорик смотрит вправо-вверх и синева правой его глазной впадины несколько флегматична.

[alex55555]

Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):

$da_y=G\frac{dM}{r^2}\sin{\theta}=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}dV=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}r^2\sin{\theta} dr d\theta d\varphi=\frac{3GM}{4\pi R^3}(\sin{\theta})^2 dr d\theta d\varphi$

Почему в $da$ не учитывается угол $\varphi$ (в формуле до преобразований) ? Без $\varphi$ получается формула для $da$ на внешнем ободе кольца, не ?

PPhantom:

Не забывайте правильно записывать формулы и обозначения. Выше исправлено.

[Побережный Александр]

Geen в сообщении #1031434 писал(а):

А интегралы снова симметричны?

Почему вас смущают интегралы? Я делал, вроде, по всем правилам математики.

alex55555 в сообщении #1031775 писал(а):

Почему в $da$ не учитывается угол $\varphi$ (в формуле до преобразований) ? Без $\varphi$ получается формула для $da$ на внешнем ободе кольца, не ?

Угол $\varphi$ не требуется указывать, так как вычисляются проекции для всех векторов на ось $Y$, то есть для любого угла $\varphi$.

amon в сообщении #1031448 писал(а):

А вообще, это все интегрируется мгновенно по теореме Гаусса

А какой ответ получается, если посчитать по теореме Гаусса?
Я свои вычисления привел, чтобы показать нестыковку, если относиться к объемному телу как точечному и не учитывать его пространственное распределение масс.