2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение26.06.2015, 17:42 


29/07/08
536
Уважаемые софорумники, представляю свои рассуждения по физической задачке с точки зрения математики.
Любое тело с массой придает ускорение другому телу за счет силы тяготения, согласно закону Ньютона
$ma=F=G\frac{mM}{r^2}$
Отсюда ускорение свободного падения на поверхности Земли или другой планеты вычисляется $a=G\frac{M}{r^2}$,
при этом предполагается, что масса тела сконцентрирована в центре масс планеты, то есть в точке, а ускорение определяется на расстоянии $R$ от точки с массой $M$.
Так для Земли $g=G\frac{M}{R^2}$, где $R$ - радиус планеты.
Но планета не точечный объект, соответственно и вычисления должны быть другими.
Если предположить, что Земля представляет собой шар радиуса $R$ с равномерно распределенной массой $M$, то вычисления ускорения на поверхности должны вычисляться следующим образом.
Свяжем с произвольной точкой на поверхности стандартную сферическую систему координат, причем ось $Y$ проходит через центр шара.
Из симметрии результирующий вектор ускорения направлен по оси $Y$.

$da_y=G\frac{dM}{r^2}\sin{\theta}=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}dV=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}r^2\sin{\theta} dr d\theta d\varphi=\frac{3GM}{4\pi R^3}(\sin{\theta})^2 dr d\theta d\varphi$

Уравнение сферы с началом координат на самой сфере имеет вид $r=2R\sin\theta\sin\varphi$
Соответственно получаем

$a_y=\frac{3GM}{4\pi R^3}\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^{2R\sin\theta\sin\varphi}(\sin{\theta})^2 dr d\theta d\varphi=\frac{4GM}{\pi R^2}>g=\frac{GM}{ R^2}$

Получается, что вблизи планеты формула тяготения Ньютона носит приблизительный характер.
Если ошибаюсь, то в каком месте?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение26.06.2015, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В каком-то; надо ещё раз посмотреть на все эти интегралы.
Исходное Ваше соображение - правильное; Земля не точка, это надо учесть. Так вот, все эти вычисления уже были проведены, и оказалось, что результат такой же, как если бы она была точка. Ну, типа случайно так совпало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение26.06.2015, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
ИСН в сообщении #1031303 писал(а):
Так вот, все эти вычисления уже были проведены
Ньютоном. Упарился, бедный, поскольку теоремы Гаусса не знал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение26.06.2015, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):
Из симметрии результирующий вектор ускорения направлен по оси $Y$.

$\varphi$ и $\theta$ при таком выборе симметричны, но написанная далее формула - нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение26.06.2015, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):
Уравнение сферы с началом координат на самой сфере имеет вид $r=2R\sin\theta\sin\varphi$
Вы в этом уверены?

-- 26.06.2015, 18:36 --

Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):
$\int_0^\pi\int_0^\pi\dots$
И в этом тоже?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.06.2015, 19:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вроде как физика

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение26.06.2015, 23:37 


29/07/08
536
Связь между сферическими и декартовыми координатами
$x=r\sin\theta\cos\varphi$
$y=r\sin\theta\sin\varphi$
$z=r\cos\varphi$

Уравнение сферы в декартовых координатах, если начало координат на поверхности сферы, а ось $Y$ будет проходить через центр сферы:
$x^2+(y-R)^2+z^2=R^2$
$x^2+y^2-2yR+R^2+z^2=R^2$
$x^2+y^2+z^2=2yR$
$r^2=2Rr\sin\theta\sin\varphi$
$r=2R\sin\theta\sin\varphi$
получили уравнение сферы в новых координатах.

Элемент объема $dV$ в декартовых координатах будет выглядеть в сферических координатах так:
$dxdydz=r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi$

А дальше интегрируется по все трем переменным

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение27.06.2015, 00:20 


02/05/10
49
Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):
Если предположить, что Земля представляет собой шар радиуса $R$ с равномерно распределенной массой $M$
Получим тот же результат если предполагать, что Земля — точка и этот результат вроде как очевидный, поэтому длинные интегралы в первом посте меня смущают.

Несмотря на то, что для точки и шара результат одинаков это всё равно остаётся приближением, потому что Земля конечно же не точка, но и не шар.

Изображение

Было бы очень интересно посмотреть какую-нибудь карту или таблицу где и как различается $g$ на Земле, в частности точки где оно минимально/максимально, в каком знаке вообще видны различия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение27.06.2015, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Побережный Александр в сообщении #1031418 писал(а):
А дальше интегрируется по все трем переменным

А интегралы снова симметричны? ;-)

-- 27.06.2015, 00:38 --

no_name в сообщении #1031431 писал(а):
где и как различается $g$ на Земле

Где именно??

И по поводу картинки - разница "высот" порядка 20 км, радиус - 6000 км... Это, примерно, точность "бильярдного шара"....

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение27.06.2015, 00:56 


09/04/15

42
Правильно ли я понимаю,что ускорение свободного падения у поверхности Земли есть следствие движения по временной координате по искривленным геодезическим,когда тело-Земля движется "во времени"по прямой(если точно,то тоже по искривленной Солнцем,но относительно малого радиуса),а падающий на поверхность предмет-по дуге.Проецируя на пространственные координаты перемещения по временным,получаем нарастающую скорость движения предмета по направлению к центру Земли,то самое ускорение как степень искривления Землей на себя пространства-времени вокруг себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение27.06.2015, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Побережный Александр в сообщении #1031418 писал(а):
$r=2R\sin\theta\sin\varphi$
Мне лень искать у Вас ошибку, но, IMHO, плоскости $\theta=0$ и $\varphi=0$ взаимно перпендикулярны, и не могут одновременно быть касательными к сфере. Если сферу "положить" на плоскость $XY$, а ось $Z$ направить через центр, то уравнение ее будет $r=2R\sin\theta$, при этом $0\le\theta\le\pi,\; 0\le\varphi\le2\pi$, что проще. А вообще, это все интегрируется мгновенно по теореме Гаусса также, как для напряженности поля равномерно заряженной сферы, - математически то задачи одинаковые, и ответ, естественно, получается какой надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение27.06.2015, 20:58 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
amon в сообщении #1031448 писал(а):
А вообще, это все интегрируется мгновенно по теореме Гаусса...

Для сферического коня в вакууме - действительно мнгновенно.
Если распределение плотности не зависит от углов (от радиуса может зависеть), то тоже мнгновенно.
Но реальная планета - это не сферический конь, хоть и в вакууме.
Кстати, по вариациям поля тяготения измеряемым с помощью спутников определяют более тяжелые или легкие вкрапления в толще планеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение27.06.2015, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535

(Оффтоп)

Согласно картинке, Земля имеет форму Бедного Йорика. Причём, Йорик смотрит вправо-вверх и синева правой его глазной впадины несколько флегматична.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение28.06.2015, 10:22 


16/02/15
124
Побережный Александр в сообщении #1031295 писал(а):
$da_y=G\frac{dM}{r^2}\sin{\theta}=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}dV=G\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{M}{\frac43\pi R^3}r^2\sin{\theta} dr d\theta d\varphi=\frac{3GM}{4\pi R^3}(\sin{\theta})^2 dr d\theta d\varphi$

Почему в $da$ не учитывается угол $\varphi$ (в формуле до преобразований) ? Без $\varphi$ получается формула для $da$ на внешнем ободе кольца, не ?

 !  PPhantom:
Не забывайте правильно записывать формулы и обозначения. Выше исправлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение свободного падения на поверхности массивного тела
Сообщение30.06.2015, 12:12 


29/07/08
536
Geen в сообщении #1031434 писал(а):
А интегралы снова симметричны?

Почему вас смущают интегралы? Я делал, вроде, по всем правилам математики.

alex55555 в сообщении #1031775 писал(а):
Почему в $da$ не учитывается угол $\varphi$ (в формуле до преобразований) ? Без $\varphi$ получается формула для $da$ на внешнем ободе кольца, не ?

Угол $\varphi$ не требуется указывать, так как вычисляются проекции для всех векторов на ось $Y$, то есть для любого угла $\varphi$.

amon в сообщении #1031448 писал(а):
А вообще, это все интегрируется мгновенно по теореме Гаусса

А какой ответ получается, если посчитать по теореме Гаусса?
Я свои вычисления привел, чтобы показать нестыковку, если относиться к объемному телу как точечному и не учитывать его пространственное распределение масс.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group