2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фотонные переходы
Сообщение24.06.2015, 23:55 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Рассмотрим фотонный газ число фотонов в котором может меняться в результате процессов поглощения и излучения. Состояние газа можно описать с помощью чисел заполнения как $|\ldots, N^m_i, \ldots \rangle$.
Мне надо посчитать матричный элемент
$$
\langle \ldots, N^m_i, \ldots | e^{C (a^\dagger_k + a_k)} |\ldots, N^l_i, \ldots \rangle.
$$
Разложением экспоненты в ряд можно показать, что он пропорционален
$$
\sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle.
$$
Проблема в том, чтобы посчитать последний бракет. Также, у меня сомнения насчёт правильности последней формулы -- хотя у себя в расчётах я ошибку не нашёл, но не понятно что это за состояние $|N +C \rangle$ если $C$ комплексно (а оно комплексно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Боюсь, что проблема в том, что надо понять почему $C$ не может быть произвольным комплексным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 00:49 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Из физических соображений, может, в неё входят геометрические параметры системы и физические константы.

-- Чт июн 25, 2015 00:54:32 --

Точнее, оно чисто мнимое -- все эти параметры домножены на $i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Kitozavr в сообщении #1030655 писал(а):
Из физических соображений, может

А давайте подеремся - $C$ не может быть произвольным комплексным числом, а только некоторым специальным. Кроме того, никаким разложением экспоненты этого: $ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle$ получить нельзя.

-- 25.06.2015, 01:05 --

Kitozavr в сообщении #1030655 писал(а):
Точнее, оно чисто мнимое
Точно! Теперь давайте разбираться с разложением экспоненты. Как Вы это чудо ($ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle$) получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 01:14 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
amon в сообщении #1030656 писал(а):
А давайте подеремся - $C$ не может быть произвольным комплексным числом, а только некоторым специальным.
А из чего это следует?

amon в сообщении #1030656 писал(а):
Кроме того, никаким разложением экспоненты этого: $ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle$ получить нельзя.
Да, я немного соврал, там расчёт сложнее, привожу его под оффтопом.

(Оффтоп)

Представим экспоненту как произведение:
$$
e^{C(a^\dagger+a)} = e^{Ca^\dagger} e^{Ca} e^{-\frac{1}{2}[a^\dagger,a]},
$$
а состояние $|n \rangle$ как
$$
|n \rangle = \frac{a^{\dagger n}}{\sqrt{(n+1)!}} |0\rangle.
$$
Тогда
$$
I =  \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| e^{Ca^\dagger} e^{Ca} a^{\dagger n} |0\rangle.
$$}
Поменяем местами два крайних правых оператора, учитывая, что для произвольной функции $F(a^\dagger)$ верно равенство
$$
e^{C a} F(a^\dagger) = F(a^\dagger + C) e^{C a}.
$$
В данном случае, $F(a^\dagger) = a^{\dagger n}$, следовательно
$$
e^{Ca} a^{\dagger n} = (a^\dagger + C)^n e^{Ca}.
$$
Тогда
$$
I = \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| e^{Ca^\dagger} (a^\dagger +C)^n e^{Ca} |0\rangle,
$$
но оператор $e^{Ca}$ не изменяет состояния $|0\rangle$, в чём можно убедиться разложив экспоненту в ряд по степеням $a$. Поэтому, матричный элемент можно переписать как
$$
I =  \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| e^{Ca^\dagger} (a^\dagger +C)^n |0\rangle.
$$
Вычислим коммутатор $[e^{Ca^\dagger}, (a^\dagger +C)^n]$, для этого разложим в ряд экспоненту и степенную функцию:
$$
[e^{Ca^\dagger}, (a^\dagger +C)^n] = \sum_k \frac{C^k}{k!} \sum_l
\begin{pmatrix}
n \\ l
\end{pmatrix}
C^n [a^{\dagger k}, a^{\dagger n-l}] = 0
$$
где $\begin{pmatrix}n \\ l\end{pmatrix}$ -- биноминальные коэффициенты.

Таким образом, можно переставить два оператора, входящих в матричный элемент:
$$
I =  \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| (a^\dagger +C)^n e^{Ca^\dagger}|0\rangle.
$$
Но $e^{Ca^\dagger}$ есть оператор сдвига, поэтому
$$
e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C\rangle.
$$
Следовательно,
$$
I =  \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| (a^\dagger +C)^n |C\rangle.
$$
$$
(a^\dagger +C)^n |C\rangle = \sum_l
\begin{pmatrix}
n \\ l
\end{pmatrix}
a^{\dagger n-l} C^n |C\rangle
$$
Посчитаем $a^{\dagger l} | m\rangle$:
$$
a^{\dagger l} | m\rangle = \sqrt{m (m+1) \ldots (m+l)}|m+l\rangle = \sqrt{\frac{(m+l)!}{m!}}|m+l\rangle.
$$
С учётом этого результата
$$
(a^\dagger +C)^n |C\rangle = \sum_l
\begin{pmatrix}
n \\ l
\end{pmatrix} C^n \sqrt{\frac{(C+n-l)!}{C!}}|C+n-l\rangle,
$$
$$
I &=& \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \sum_l
	\begin{pmatrix}
	n \\ l
	\end{pmatrix} C^n \sqrt{\frac{(C+n-l)!}{C!}} \langle m|C+n-l\rangle
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
А теперь объясните пожалуйста, как вот это $ |n \rangle = \frac{a^{\dagger n}}{\sqrt{n!}} |0\rangle$ совместить с этим: $ e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C\rangle?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 01:31 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
amon
Ошибка в том, что я потерял множитель, правильно будет
$$
e^{-\frac{1}{2}|C|^2}e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C \rangle.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Kitozavr в сообщении #1030666 писал(а):
правильно будет

Все равно неправильно, либо не определено что такое $|C \rangle$.
$$
 e^{Ca^\dagger} |0\rangle = \sum \frac{C^n(a^\dagger)^n }{n!}|0\rangle=\sum \frac{C^n |n \rangle }{\sqrt{n!}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 02:22 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Да, вы правы, $e^{-\frac{1}{2}|C|^2}e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C \rangle$ только если $|C \rangle$-- когерентное состояние осциллятора.
Тогда, с учётом ваших исправлений
$$
I \sim \langle m| (a^\dagger + C)^n  \sum_n \frac{C^n}{\sqrt{n!}} | n\rangle = \sum_n \sum_l 
\begin{pmatrix}
n \\ l
\end{pmatrix}
\frac{C^{2n}}{n!}\sqrt{(2n-l)!}\langle m|2n-l \rangle.
$$
Здесь $\langle m|2n-l \rangle = \delta_{m,2n-l}$ и одну сумму можно убрать. Но можно ли так поступить в случае многочастичного состояния?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 02:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Kitozavr в сообщении #1030670 писал(а):
Но можно ли так поступить в случае многочастичного состояния?

А кто мешает? Вся разница, что у оператора $a_r$ появился значок, фиксирующий, допустим, импульс и поляризацию. Все остальное осталось также. Более того, я Вам по секрету скажу, что того, что Вы делаете, делать не надо. Ваше "взаимодействие", нарушающее сохранение числа фотонов, линейно по операторам поля, значит Вы просто неправильно выбрали "фотоны" (операторы $a_r$). Надо произвести замену операторов (преобразование Боголюбова), и для "новых" фотонов опять будет закон сохранения числа фотонов, и они будут невзаимодействующими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 03:04 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
У меня фотоны не между собой взаимодействуют, а с системой, которая может их поглощать и излучать, поэтому их число и не сохраняется. Но взаимодействие достаточно сложное, поэтому я не думаю, что удастся сделать преобразование, диагонализирующее гамильтониан. Или должно получиться в любом случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Kitozavr в сообщении #1030673 писал(а):
Или должно получиться в любом случае?

Если все, что "не сохраняет" имеет вид $C^*\hat{a}^++C\hat{a},$ и $C$ - обычное число (не оператор), то каноническим преобразованием $\hat{a}=\hat{b}+d,$ где $d$ - нужным образом подобранное число, этот член убивается, и остается гамильтониан, сохраняющий число частиц (новых, которые $\hat{b}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотонные переходы
Сообщение25.06.2015, 15:13 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Хорошо, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group