Фотонные переходы

[Kitozavr]

Рассмотрим фотонный газ число фотонов в котором может меняться в результате процессов поглощения и излучения. Состояние газа можно описать с помощью чисел заполнения как $|\ldots, N^m_i, \ldots \rangle$.
Мне надо посчитать матричный элемент

$$ \langle \ldots, N^m_i, \ldots | e^{C (a^\dagger_k + a_k)} |\ldots, N^l_i, \ldots \rangle. $$

Разложением экспоненты в ряд можно показать, что он пропорционален

$$ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle. $$

Проблема в том, чтобы посчитать последний бракет. Также, у меня сомнения насчёт правильности последней формулы -- хотя у себя в расчётах я ошибку не нашёл, но не понятно что это за состояние $|N +C \rangle$ если $C$ комплексно (а оно комплексно).

[amon]

Боюсь, что проблема в том, что надо понять почему $C$ не может быть произвольным комплексным.

[Kitozavr]

Из физических соображений, может, в неё входят геометрические параметры системы и физические константы.

-- Чт июн 25, 2015 00:54:32 --

Точнее, оно чисто мнимое -- все эти параметры домножены на $i$.

[amon]

Kitozavr в сообщении #1030655 писал(а):

Из физических соображений, может

А давайте подеремся - $C$ не может быть произвольным комплексным числом, а только некоторым специальным. Кроме того, никаким разложением экспоненты этого: $ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle$ получить нельзя.

-- 25.06.2015, 01:05 --

Kitozavr в сообщении #1030655 писал(а):

Точнее, оно чисто мнимое

Точно! Теперь давайте разбираться с разложением экспоненты. Как Вы это чудо ($ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle$) получили?

[Kitozavr]

amon в сообщении #1030656 писал(а):

А давайте подеремся - $C$ не может быть произвольным комплексным числом, а только некоторым специальным.

А из чего это следует?

amon в сообщении #1030656 писал(а):

Кроме того, никаким разложением экспоненты этого: $ \sum_j \langle \ldots, N^m_i, \ldots | \ldots, N^l_k + C - j, \ldots, N^l_i, \ldots \rangle$ получить нельзя.

Да, я немного соврал, там расчёт сложнее, привожу его под оффтопом.

(Оффтоп)

Представим экспоненту как произведение:

$$ e^{C(a^\dagger+a)} = e^{Ca^\dagger} e^{Ca} e^{-\frac{1}{2}[a^\dagger,a]}, $$

а состояние $|n \rangle$ как

$$ |n \rangle = \frac{a^{\dagger n}}{\sqrt{(n+1)!}} |0\rangle. $$

Тогда

$$ I = \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| e^{Ca^\dagger} e^{Ca} a^{\dagger n} |0\rangle. $$

}
Поменяем местами два крайних правых оператора, учитывая, что для произвольной функции $F(a^\dagger)$ верно равенство

$$ e^{C a} F(a^\dagger) = F(a^\dagger + C) e^{C a}. $$

В данном случае, $F(a^\dagger) = a^{\dagger n}$, следовательно

$$ e^{Ca} a^{\dagger n} = (a^\dagger + C)^n e^{Ca}. $$

Тогда

$$ I = \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| e^{Ca^\dagger} (a^\dagger +C)^n e^{Ca} |0\rangle, $$

но оператор $e^{Ca}$ не изменяет состояния $|0\rangle$, в чём можно убедиться разложив экспоненту в ряд по степеням $a$. Поэтому, матричный элемент можно переписать как

$$ I = \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| e^{Ca^\dagger} (a^\dagger +C)^n |0\rangle. $$

Вычислим коммутатор $[e^{Ca^\dagger}, (a^\dagger +C)^n]$, для этого разложим в ряд экспоненту и степенную функцию:

$$ [e^{Ca^\dagger}, (a^\dagger +C)^n] = \sum_k \frac{C^k}{k!} \sum_l \begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} C^n [a^{\dagger k}, a^{\dagger n-l}] = 0 $$

где $\begin{pmatrix}n \\ l\end{pmatrix}$ -- биноминальные коэффициенты.

Таким образом, можно переставить два оператора, входящих в матричный элемент:

$$ I = \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| (a^\dagger +C)^n e^{Ca^\dagger}|0\rangle. $$

Но $e^{Ca^\dagger}$ есть оператор сдвига, поэтому

$$ e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C\rangle. $$

Следовательно,

$$ I = \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \langle m| (a^\dagger +C)^n |C\rangle. $$

$$ (a^\dagger +C)^n |C\rangle = \sum_l \begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} a^{\dagger n-l} C^n |C\rangle $$

Посчитаем $a^{\dagger l} | m\rangle$:

$$ a^{\dagger l} | m\rangle = \sqrt{m (m+1) \ldots (m+l)}|m+l\rangle = \sqrt{\frac{(m+l)!}{m!}}|m+l\rangle. $$

С учётом этого результата

$$ (a^\dagger +C)^n |C\rangle = \sum_l \begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} C^n \sqrt{\frac{(C+n-l)!}{C!}}|C+n-l\rangle, $$

$$ I &=& \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(n+1)!}} \sum_l \begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} C^n \sqrt{\frac{(C+n-l)!}{C!}} \langle m|C+n-l\rangle $$

[amon]

А теперь объясните пожалуйста, как вот это $ |n \rangle = \frac{a^{\dagger n}}{\sqrt{n!}} |0\rangle$ совместить с этим: $ e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C\rangle?$

[Kitozavr]

amon
Ошибка в том, что я потерял множитель, правильно будет

$$ e^{-\frac{1}{2}|C|^2}e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C \rangle. $$

[amon]

Kitozavr в сообщении #1030666 писал(а):

правильно будет

Все равно неправильно, либо не определено что такое $|C \rangle$.

$$ e^{Ca^\dagger} |0\rangle = \sum \frac{C^n(a^\dagger)^n }{n!}|0\rangle=\sum \frac{C^n |n \rangle }{\sqrt{n!}} $$

[Kitozavr]

Да, вы правы, $e^{-\frac{1}{2}|C|^2}e^{Ca^\dagger} |0\rangle = |C \rangle$ только если $|C \rangle$-- когерентное состояние осциллятора.
Тогда, с учётом ваших исправлений

$$ I \sim \langle m| (a^\dagger + C)^n \sum_n \frac{C^n}{\sqrt{n!}} | n\rangle = \sum_n \sum_l \begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} \frac{C^{2n}}{n!}\sqrt{(2n-l)!}\langle m|2n-l \rangle. $$

Здесь $\langle m|2n-l \rangle = \delta_{m,2n-l}$ и одну сумму можно убрать. Но можно ли так поступить в случае многочастичного состояния?

[amon]

Kitozavr в сообщении #1030670 писал(а):

Но можно ли так поступить в случае многочастичного состояния?

А кто мешает? Вся разница, что у оператора $a_r$ появился значок, фиксирующий, допустим, импульс и поляризацию. Все остальное осталось также. Более того, я Вам по секрету скажу, что того, что Вы делаете, делать не надо. Ваше "взаимодействие", нарушающее сохранение числа фотонов, линейно по операторам поля, значит Вы просто неправильно выбрали "фотоны" (операторы $a_r$). Надо произвести замену операторов (преобразование Боголюбова), и для "новых" фотонов опять будет закон сохранения числа фотонов, и они будут невзаимодействующими.

[Kitozavr]

У меня фотоны не между собой взаимодействуют, а с системой, которая может их поглощать и излучать, поэтому их число и не сохраняется. Но взаимодействие достаточно сложное, поэтому я не думаю, что удастся сделать преобразование, диагонализирующее гамильтониан. Или должно получиться в любом случае?

[amon]

Kitozavr в сообщении #1030673 писал(а):

Или должно получиться в любом случае?

Если все, что "не сохраняет" имеет вид $C^*\hat{a}^++C\hat{a},$ и $C$ - обычное число (не оператор), то каноническим преобразованием $\hat{a}=\hat{b}+d,$ где $d$ - нужным образом подобранное число, этот член убивается, и остается гамильтониан, сохраняющий число частиц (новых, которые $\hat{b}$).

[Kitozavr]

Хорошо, спасибо.